Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61832 / 77704
↖ ↑ ↗
← S 31.672084°
W 10.173340°		 ← 259.94 m → S 31.672084°
W 10.170593°		 →
↑
259.87 m
↓
↑
259.87 m
↓
S 31.674421°
W 10.173340°		 ← 259.93 m →
67 550 m²		 S 31.674421°
W 10.170593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471744537353516 y=0.592838287353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471744537353516 × 217)
    floor (0.471744537353516 × 131072)
    floor (61832.5)     		tx = 61832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592838287353516 × 217)
    floor (0.592838287353516 × 131072)
    floor (77704.5)     		ty = 77704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61832 / 77704 ti = "17/61832/77704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61832/77704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61832 ÷ 217
    61832 ÷ 131072     		x = 0.47174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77704 ÷ 217
    77704 ÷ 131072     		y = 0.59283447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.0565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17755828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1856689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.583296194576843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17755828} λ = -0.17755828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583296194576843))-π/2
    2×atan(0.558055870886289)-π/2
    2×0.509007094509357-π/2
    1.01801418901871-1.57079632675     		φ = -0.55278214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17755828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.173340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55278214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.672084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61832 KachelY 77704 -0.17755828 -0.55278214 -10.173340 -31.672084
    Oben rechts KachelX + 1 61833 KachelY 77704 -0.17751034 -0.55278214 -10.170593 -31.672084
    Unten links KachelX 61832 KachelY + 1 77705 -0.17755828 -0.55282293 -10.173340 -31.674421
    Unten rechts KachelX + 1 61833 KachelY + 1 77705 -0.17751034 -0.55282293 -10.170593 -31.674421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55278214--0.55282293) × R
    4.07900000000128e-05 × 6371000     		dl = 259.873090000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55278214--0.55282293) × R
    4.07900000000128e-05 × 6371000     		dr = 259.873090000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17755828--0.17751034) × cos(-0.55278214) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851067035491464 × 6371000     		do = 259.937779104717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17755828--0.17751034) × cos(-0.55282293) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851045617706569 × 6371000     		du = 259.931237561916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55278214)-sin(-0.55282293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851067035491464-0.851045617706569)×R²
    abs(-0.17751034--0.17755828)×2.14177848957275e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14177848957275e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14177848957275e-05×40589641000000     		ar = 67549.9838877473m²