Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61827 / 39042
↖ ↑ ↗
← N 58.628357°
W 10.187073°		 ← 159 m → N 58.628357°
W 10.184326°		 →
↑
159.02 m
↓
↑
159.02 m
↓
N 58.626927°
W 10.187073°		 ← 159.01 m →
25 285 m²		 N 58.626927°
W 10.184326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471706390380859 y=0.297870635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471706390380859 × 217)
    floor (0.471706390380859 × 131072)
    floor (61827.5)     		tx = 61827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297870635986328 × 217)
    floor (0.297870635986328 × 131072)
    floor (39042.5)     		ty = 39042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61827 / 39042 ti = "17/61827/39042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61827/39042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61827 ÷ 217
    61827 ÷ 131072     		x = 0.471702575683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39042 ÷ 217
    39042 ÷ 131072     		y = 0.297866821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471702575683594 × 2 - 1) × π
    -0.0565948486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17779796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297866821289062 × 2 - 1) × π
    0.404266357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27004021853377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17779796} λ = -0.17779796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27004021853377))-π/2
    2×atan(3.56099577750447)-π/2
    2×1.29702709651556-π/2
    2.59405419303113-1.57079632675     		φ = 1.02325787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17779796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.187073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02325787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.628357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61827 KachelY 39042 -0.17779796 1.02325787 -10.187073 58.628357
    Oben rechts KachelX + 1 61828 KachelY 39042 -0.17775002 1.02325787 -10.184326 58.628357
    Unten links KachelX 61827 KachelY + 1 39043 -0.17779796 1.02323291 -10.187073 58.626927
    Unten rechts KachelX + 1 61828 KachelY + 1 39043 -0.17775002 1.02323291 -10.184326 58.626927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02325787-1.02323291) × R
    2.49599999999628e-05 × 6371000     		dl = 159.020159999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02325787-1.02323291) × R
    2.49599999999628e-05 × 6371000     		dr = 159.020159999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17779796--0.17775002) × cos(1.02325787) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520587121574319 × 6371000     		do = 159.000706841294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17779796--0.17775002) × cos(1.02323291) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52060843247369 × 6371000     		du = 159.007215738505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02325787)-sin(1.02323291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520587121574319-0.52060843247369)×R²
    abs(-0.17775002--0.17779796)×2.13108993710742e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13108993710742e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13108993710742e-05×40589641000000     		ar = 25284.8353661652m²