Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61827 / 12483
↖ ↑ ↗
← N 73.721976°
E159.625854°		 ← 171.22 m → N 73.721976°
E159.631348°		 →
↑
171.25 m
↓
↑
171.25 m
↓
N 73.720436°
E159.625854°		 ← 171.24 m →
29 323 m²		 N 73.720436°
E159.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943412780761719 y=0.190483093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943412780761719 × 216)
    floor (0.943412780761719 × 65536)
    floor (61827.5)     		tx = 61827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190483093261719 × 216)
    floor (0.190483093261719 × 65536)
    floor (12483.5)     		ty = 12483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61827 / 12483 ti = "16/61827/12483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61827/12483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61827 ÷ 216
    61827 ÷ 65536     		x = 0.943405151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12483 ÷ 216
    12483 ÷ 65536     		y = 0.190475463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943405151367188 × 2 - 1) × π
    0.886810302734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78599673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190475463867188 × 2 - 1) × π
    0.619049072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.94480001758568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78599673} λ = 2.78599673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94480001758568))-π/2
    2×atan(6.99223339148844)-π/2
    2×1.42874377094133-π/2
    2.85748754188266-1.57079632675     		φ = 1.28669122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78599673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.625854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28669122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.721976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61827 KachelY 12483 2.78599673 1.28669122 159.625854 73.721976
    Oben rechts KachelX + 1 61828 KachelY 12483 2.78609261 1.28669122 159.631348 73.721976
    Unten links KachelX 61827 KachelY + 1 12484 2.78599673 1.28666434 159.625854 73.720436
    Unten rechts KachelX + 1 61828 KachelY + 1 12484 2.78609261 1.28666434 159.631348 73.720436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28669122-1.28666434) × R
    2.68800000000624e-05 × 6371000     		dl = 171.252480000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28669122-1.28666434) × R
    2.68800000000624e-05 × 6371000     		dr = 171.252480000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78599673-2.78609261) × cos(1.28669122) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.280298544137564 × 6371000     		do = 171.220780528164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78599673-2.78609261) × cos(1.28666434) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.280324346494358 × 6371000     		du = 171.236541935999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28669122)-sin(1.28666434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280298544137564-0.280324346494358)×R²
    abs(2.78609261-2.78599673)×2.5802356794169e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.5802356794169e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.5802356794169e-05×40589641000000     		ar = 29323.332885078m²