Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61826 / 76178
↖ ↑ ↗
← S 28.038047°
W 10.189819°		 ← 269.58 m → S 28.038047°
W 10.187073°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
S 28.040471°
W 10.189819°		 ← 269.57 m →
72 666 m²		 S 28.040471°
W 10.187073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471698760986328 y=0.581195831298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471698760986328 × 217)
    floor (0.471698760986328 × 131072)
    floor (61826.5)     		tx = 61826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581195831298828 × 217)
    floor (0.581195831298828 × 131072)
    floor (76178.5)     		ty = 76178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61826 / 76178 ti = "17/61826/76178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61826/76178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61826 ÷ 217
    61826 ÷ 131072     		x = 0.471694946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76178 ÷ 217
    76178 ÷ 131072     		y = 0.581192016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471694946289062 × 2 - 1) × π
    -0.056610107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17784590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581192016601562 × 2 - 1) × π
    -0.162384033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.510144485756638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17784590} λ = -0.17784590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510144485756638))-π/2
    2×atan(0.600408822021915)-π/2
    2×0.540720050481377-π/2
    1.08144010096275-1.57079632675     		φ = -0.48935623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17784590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.189819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48935623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.038047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61826 KachelY 76178 -0.17784590 -0.48935623 -10.189819 -28.038047
    Oben rechts KachelX + 1 61827 KachelY 76178 -0.17779796 -0.48935623 -10.187073 -28.038047
    Unten links KachelX 61826 KachelY + 1 76179 -0.17784590 -0.48939854 -10.189819 -28.040471
    Unten rechts KachelX + 1 61827 KachelY + 1 76179 -0.17779796 -0.48939854 -10.187073 -28.040471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48935623--0.48939854) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dl = 269.557009999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48935623--0.48939854) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dr = 269.557009999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17784590--0.17779796) × cos(-0.48935623) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882635650580296 × 6371000     		do = 269.579646728848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17784590--0.17779796) × cos(-0.48939854) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882615761645981 × 6371000     		du = 269.573572136367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48935623)-sin(-0.48939854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882635650580296-0.882615761645981)×R²
    abs(-0.17779796--0.17784590)×1.98889343152597e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98889343152597e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98889343152597e-05×40589641000000     		ar = 72666.2648153815m²