Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61824 / 76191
↖ ↑ ↗
← S 28.069557°
W 10.195312°		 ← 269.50 m → S 28.069557°
W 10.192566°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
S 28.071980°
W 10.195312°		 ← 269.49 m →
72 611 m²		 S 28.071980°
W 10.192566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471683502197266 y=0.581295013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471683502197266 × 217)
    floor (0.471683502197266 × 131072)
    floor (61824.5)     		tx = 61824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581295013427734 × 217)
    floor (0.581295013427734 × 131072)
    floor (76191.5)     		ty = 76191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61824 / 76191 ti = "17/61824/76191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61824/76191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61824 ÷ 217
    61824 ÷ 131072     		x = 0.4716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76191 ÷ 217
    76191 ÷ 131072     		y = 0.581291198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4716796875 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17794177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581291198730469 × 2 - 1) × π
    -0.162582397460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.510767665451698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17794177} λ = -0.17794177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510767665451698))-π/2
    2×atan(0.600034775996345)-π/2
    2×0.540445070463819-π/2
    1.08089014092764-1.57079632675     		φ = -0.48990619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17794177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48990619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.069557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61824 KachelY 76191 -0.17794177 -0.48990619 -10.195312 -28.069557
    Oben rechts KachelX + 1 61825 KachelY 76191 -0.17789383 -0.48990619 -10.192566 -28.069557
    Unten links KachelX 61824 KachelY + 1 76192 -0.17794177 -0.48994848 -10.195312 -28.071980
    Unten rechts KachelX + 1 61825 KachelY + 1 76192 -0.17789383 -0.48994848 -10.192566 -28.071980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48990619--0.48994848) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dl = 269.429590000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48990619--0.48994848) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dr = 269.429590000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17794177--0.17789383) × cos(-0.48990619) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882377004142222 × 6371000     		do = 269.500649449101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17794177--0.17789383) × cos(-0.48994848) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882357104084877 × 6371000     		du = 269.49457145936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48990619)-sin(-0.48994848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882377004142222-0.882357104084877)×R²
    abs(-0.17789383--0.17794177)×1.99000573454233e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.99000573454233e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.99000573454233e-05×40589641000000     		ar = 72610.6307014289m²