Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61820 / 40739
↖ ↑ ↗
← N 56.116467°
W 10.206299°		 ← 170.28 m → N 56.116467°
W 10.203552°		 →
↑
170.23 m
↓
↑
170.23 m
↓
N 56.114936°
W 10.206299°		 ← 170.28 m →
28 987 m²		 N 56.114936°
W 10.203552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471652984619141 y=0.310817718505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471652984619141 × 217)
    floor (0.471652984619141 × 131072)
    floor (61820.5)     		tx = 61820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310817718505859 × 217)
    floor (0.310817718505859 × 131072)
    floor (40739.5)     		ty = 40739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61820 / 40739 ti = "17/61820/40739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61820/40739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61820 ÷ 217
    61820 ÷ 131072     		x = 0.471649169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40739 ÷ 217
    40739 ÷ 131072     		y = 0.310813903808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471649169921875 × 2 - 1) × π
    -0.05670166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17813352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310813903808594 × 2 - 1) × π
    0.378372192382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.18869129987853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17813352} λ = -0.17813352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18869129987853))-π/2
    2×atan(3.28278221746563)-π/2
    2×1.27510672014236-π/2
    2.55021344028471-1.57079632675     		φ = 0.97941711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17813352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.206299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97941711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.116467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61820 KachelY 40739 -0.17813352 0.97941711 -10.206299 56.116467
    Oben rechts KachelX + 1 61821 KachelY 40739 -0.17808558 0.97941711 -10.203552 56.116467
    Unten links KachelX 61820 KachelY + 1 40740 -0.17813352 0.97939039 -10.206299 56.114936
    Unten rechts KachelX + 1 61821 KachelY + 1 40740 -0.17808558 0.97939039 -10.203552 56.114936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97941711-0.97939039) × R
    2.67199999999246e-05 × 6371000     		dl = 170.23311999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97941711-0.97939039) × R
    2.67199999999246e-05 × 6371000     		dr = 170.23311999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17813352--0.17808558) × cos(0.97941711) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557506540723894 × 6371000     		do = 170.276847755422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17813352--0.17808558) × cos(0.97939039) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557528722735317 × 6371000     		du = 170.283622712676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97941711)-sin(0.97939039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557506540723894-0.557528722735317)×R²
    abs(-0.17808558--0.17813352)×2.21820114230109e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21820114230109e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21820114230109e-05×40589641000000     		ar = 28987.3357198743m²