Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61819 / 76197
↖ ↑ ↗
← S 28.084097°
W 10.209046°		 ← 269.46 m → S 28.084097°
W 10.206299°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
S 28.086520°
W 10.209046°		 ← 269.46 m →
72 601 m²		 S 28.086520°
W 10.206299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471645355224609 y=0.581340789794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471645355224609 × 217)
    floor (0.471645355224609 × 131072)
    floor (61819.5)     		tx = 61819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581340789794922 × 217)
    floor (0.581340789794922 × 131072)
    floor (76197.5)     		ty = 76197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61819 / 76197 ti = "17/61819/76197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61819/76197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61819 ÷ 217
    61819 ÷ 131072     		x = 0.471641540527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76197 ÷ 217
    76197 ÷ 131072     		y = 0.581336975097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471641540527344 × 2 - 1) × π
    -0.0567169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17818146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581336975097656 × 2 - 1) × π
    -0.162673950195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.511055286849419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17818146} λ = -0.17818146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.511055286849419))-π/2
    2×atan(0.599862217972271)-π/2
    2×0.540318183797782-π/2
    1.08063636759556-1.57079632675     		φ = -0.49015996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17818146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.209046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49015996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.084097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61819 KachelY 76197 -0.17818146 -0.49015996 -10.209046 -28.084097
    Oben rechts KachelX + 1 61820 KachelY 76197 -0.17813352 -0.49015996 -10.206299 -28.084097
    Unten links KachelX 61819 KachelY + 1 76198 -0.17818146 -0.49020225 -10.209046 -28.086520
    Unten rechts KachelX + 1 61820 KachelY + 1 76198 -0.17813352 -0.49020225 -10.206299 -28.086520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49015996--0.49020225) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dl = 269.429590000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49015996--0.49020225) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dr = 269.429590000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17818146--0.17813352) × cos(-0.49015996) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882257566005156 × 6371000     		do = 269.464169967859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17818146--0.17813352) × cos(-0.49020225) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882237656478947 × 6371000     		du = 269.458089086084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49015996)-sin(-0.49020225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882257566005156-0.882237656478947)×R²
    abs(-0.17813352--0.17818146)×1.99095262088944e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.99095262088944e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.99095262088944e-05×40589641000000     		ar = 72600.8016601499m²