Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61819 / 13211
↖ ↑ ↗
← N 72.562731°
E159.581909°		 ← 183.05 m → N 72.562731°
E159.587403°		 →
↑
183.04 m
↓
↑
183.04 m
↓
N 72.561085°
E159.581909°		 ← 183.07 m →
33 507 m²		 N 72.561085°
E159.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943290710449219 y=0.201591491699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943290710449219 × 216)
    floor (0.943290710449219 × 65536)
    floor (61819.5)     		tx = 61819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201591491699219 × 216)
    floor (0.201591491699219 × 65536)
    floor (13211.5)     		ty = 13211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61819 / 13211 ti = "16/61819/13211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61819/13211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61819 ÷ 216
    61819 ÷ 65536     		x = 0.943283081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13211 ÷ 216
    13211 ÷ 65536     		y = 0.201583862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943283081054688 × 2 - 1) × π
    0.886566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78522974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201583862304688 × 2 - 1) × π
    0.596832275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87500389173888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78522974} λ = 2.78522974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87500389173888))-π/2
    2×atan(6.52084449770477)-π/2
    2×1.41862744696592-π/2
    2.83725489393185-1.57079632675     		φ = 1.26645857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78522974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.581909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26645857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.562731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61819 KachelY 13211 2.78522974 1.26645857 159.581909 72.562731
    Oben rechts KachelX + 1 61820 KachelY 13211 2.78532562 1.26645857 159.587403 72.562731
    Unten links KachelX 61819 KachelY + 1 13212 2.78522974 1.26642984 159.581909 72.561085
    Unten rechts KachelX + 1 61820 KachelY + 1 13212 2.78532562 1.26642984 159.587403 72.561085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26645857-1.26642984) × R
    2.87299999999213e-05 × 6371000     		dl = 183.038829999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26645857-1.26642984) × R
    2.87299999999213e-05 × 6371000     		dr = 183.038829999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78522974-2.78532562) × cos(1.26645857) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.299661430743192 × 6371000     		do = 183.048628468276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78522974-2.78532562) × cos(1.26642984) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.299688840349906 × 6371000     		du = 183.065371667104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26645857)-sin(1.26642984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299661430743192-0.299688840349906)×R²
    abs(2.78532562-2.78522974)×2.74096067138241e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.74096067138241e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.74096067138241e-05×40589641000000     		ar = 33506.5391179993m²