Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61818 / 76196
↖ ↑ ↗
← S 28.081674°
W 10.211792°		 ← 269.41 m → S 28.081674°
W 10.209046°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
S 28.084097°
W 10.211792°		 ← 269.41 m →
72 587 m²		 S 28.084097°
W 10.209046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471637725830078 y=0.581333160400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471637725830078 × 217)
    floor (0.471637725830078 × 131072)
    floor (61818.5)     		tx = 61818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581333160400391 × 217)
    floor (0.581333160400391 × 131072)
    floor (76196.5)     		ty = 76196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61818 / 76196 ti = "17/61818/76196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61818/76196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61818 ÷ 217
    61818 ÷ 131072     		x = 0.471633911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76196 ÷ 217
    76196 ÷ 131072     		y = 0.581329345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471633911132812 × 2 - 1) × π
    -0.056732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17822939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581329345703125 × 2 - 1) × π
    -0.16265869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.511007349949799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17822939} λ = -0.17822939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.511007349949799))-π/2
    2×atan(0.599890974196437)-π/2
    2×0.540339330382583-π/2
    1.08067866076517-1.57079632675     		φ = -0.49011767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17822939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.211792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49011767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.081674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61818 KachelY 76196 -0.17822939 -0.49011767 -10.211792 -28.081674
    Oben rechts KachelX + 1 61819 KachelY 76196 -0.17818146 -0.49011767 -10.209046 -28.081674
    Unten links KachelX 61818 KachelY + 1 76197 -0.17822939 -0.49015996 -10.211792 -28.084097
    Unten rechts KachelX + 1 61819 KachelY + 1 76197 -0.17818146 -0.49015996 -10.209046 -28.084097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49011767--0.49015996) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dl = 269.429590000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49011767--0.49015996) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dr = 269.429590000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17822939--0.17818146) × cos(-0.49011767) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.882277473953497 × 6371000     		do = 269.414040469565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17822939--0.17818146) × cos(-0.49015996) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.882257566005156 × 6371000     		du = 269.407961338046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49011767)-sin(-0.49015996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882277473953497-0.882257566005156)×R²
    abs(-0.17818146--0.17822939)×1.99079483405029e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.99079483405029e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.99079483405029e-05×40589641000000     		ar = 72587.2955257957m²