Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61818 / 76183
↖ ↑ ↗
← S 28.050167°
W 10.211792°		 ← 269.49 m → S 28.050167°
W 10.209046°		 →
↑
269.49 m
↓
↑
269.49 m
↓
S 28.052591°
W 10.211792°		 ← 269.49 m →
72 626 m²		 S 28.052591°
W 10.209046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471637725830078 y=0.581233978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471637725830078 × 217)
    floor (0.471637725830078 × 131072)
    floor (61818.5)     		tx = 61818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581233978271484 × 217)
    floor (0.581233978271484 × 131072)
    floor (76183.5)     		ty = 76183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61818 / 76183 ti = "17/61818/76183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61818/76183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61818 ÷ 217
    61818 ÷ 131072     		x = 0.471633911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76183 ÷ 217
    76183 ÷ 131072     		y = 0.581230163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471633911132812 × 2 - 1) × π
    -0.056732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17822939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581230163574219 × 2 - 1) × π
    -0.162460327148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.510384170254738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17822939} λ = -0.17822939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510384170254738))-π/2
    2×atan(0.600264930579717)-π/2
    2×0.540614279398965-π/2
    1.08122855879793-1.57079632675     		φ = -0.48956777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17822939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.211792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48956777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.050167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61818 KachelY 76183 -0.17822939 -0.48956777 -10.211792 -28.050167
    Oben rechts KachelX + 1 61819 KachelY 76183 -0.17818146 -0.48956777 -10.209046 -28.050167
    Unten links KachelX 61818 KachelY + 1 76184 -0.17822939 -0.48961007 -10.211792 -28.052591
    Unten rechts KachelX + 1 61819 KachelY + 1 76184 -0.17818146 -0.48961007 -10.209046 -28.052591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48956777--0.48961007) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dl = 269.493299999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48956777--0.48961007) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dr = 269.493299999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17822939--0.17818146) × cos(-0.48956777) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.882536194811497 × 6371000     		do = 269.493043995967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17822939--0.17818146) × cos(-0.48961007) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.882516302680718 × 6371000     		du = 269.486969694531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48956777)-sin(-0.48961007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882536194811497-0.882516302680718)×R²
    abs(-0.17818146--0.17822939)×1.98921307792421e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.98921307792421e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.98921307792421e-05×40589641000000     		ar = 72625.7512725912m²