Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61817 / 40735
↖ ↑ ↗
← N 56.122592°
W 10.214539°		 ← 170.25 m → N 56.122592°
W 10.211792°		 →
↑
170.30 m
↓
↑
170.30 m
↓
N 56.121060°
W 10.214539°		 ← 170.26 m →
28 994 m²		 N 56.121060°
W 10.211792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471630096435547 y=0.310787200927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471630096435547 × 217)
    floor (0.471630096435547 × 131072)
    floor (61817.5)     		tx = 61817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310787200927734 × 217)
    floor (0.310787200927734 × 131072)
    floor (40735.5)     		ty = 40735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61817 / 40735 ti = "17/61817/40735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61817/40735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61817 ÷ 217
    61817 ÷ 131072     		x = 0.471626281738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40735 ÷ 217
    40735 ÷ 131072     		y = 0.310783386230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471626281738281 × 2 - 1) × π
    -0.0567474365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17827733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310783386230469 × 2 - 1) × π
    0.378433227539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.18888304747701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17827733} λ = -0.17827733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18888304747701))-π/2
    2×atan(3.28341174342528)-π/2
    2×1.27516016615816-π/2
    2.55032033231632-1.57079632675     		φ = 0.97952401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17827733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.214539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97952401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.122592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61817 KachelY 40735 -0.17827733 0.97952401 -10.214539 56.122592
    Oben rechts KachelX + 1 61818 KachelY 40735 -0.17822939 0.97952401 -10.211792 56.122592
    Unten links KachelX 61817 KachelY + 1 40736 -0.17827733 0.97949728 -10.214539 56.121060
    Unten rechts KachelX + 1 61818 KachelY + 1 40736 -0.17822939 0.97949728 -10.211792 56.121060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97952401-0.97949728) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dl = 170.29682999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97952401-0.97949728) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dr = 170.29682999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17827733--0.17822939) × cos(0.97952401) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557417792093353 × 6371000     		do = 170.249741639364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17827733--0.17822939) × cos(0.97949728) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557439983999297 × 6371000     		du = 170.256519618659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97952401)-sin(0.97949728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557417792093353-0.557439983999297)×R²
    abs(-0.17822939--0.17827733)×2.21919059441023e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21919059441023e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21919059441023e-05×40589641000000     		ar = 28993.5684454318m²