Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61815 / 12616
↖ ↑ ↗
← N 73.515935°
E159.559937°		 ← 173.31 m → N 73.515935°
E159.565430°		 →
↑
173.29 m
↓
↑
173.29 m
↓
N 73.514376°
E159.559937°		 ← 173.33 m →
30 035 m²		 N 73.514376°
E159.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943229675292969 y=0.192512512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943229675292969 × 216)
    floor (0.943229675292969 × 65536)
    floor (61815.5)     		tx = 61815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192512512207031 × 216)
    floor (0.192512512207031 × 65536)
    floor (12616.5)     		ty = 12616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61815 / 12616 ti = "16/61815/12616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61815/12616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61815 ÷ 216
    61815 ÷ 65536     		x = 0.943222045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12616 ÷ 216
    12616 ÷ 65536     		y = 0.1925048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943222045898438 × 2 - 1) × π
    0.886444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78484625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1925048828125 × 2 - 1) × π
    0.614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93204880228674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78484625} λ = 2.78484625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93204880228674))-π/2
    2×atan(6.90363995547129)-π/2
    2×1.42694571953284-π/2
    2.85389143906568-1.57079632675     		φ = 1.28309511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78484625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.559937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28309511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.515935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61815 KachelY 12616 2.78484625 1.28309511 159.559937 73.515935
    Oben rechts KachelX + 1 61816 KachelY 12616 2.78494212 1.28309511 159.565430 73.515935
    Unten links KachelX 61815 KachelY + 1 12617 2.78484625 1.28306791 159.559937 73.514376
    Unten rechts KachelX + 1 61816 KachelY + 1 12617 2.78494212 1.28306791 159.565430 73.514376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28309511-1.28306791) × R
    2.7200000000116e-05 × 6371000     		dl = 173.291200000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28309511-1.28306791) × R
    2.7200000000116e-05 × 6371000     		dr = 173.291200000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78484625-2.78494212) × cos(1.28309511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.283748676574249 × 6371000     		do = 173.310221405233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78484625-2.78494212) × cos(1.28306791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.28377475851352 × 6371000     		du = 173.326151934758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28309511)-sin(1.28306791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283748676574249-0.28377475851352)×R²
    abs(2.78494212-2.78484625)×2.60819392709499e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.60819392709499e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.60819392709499e-05×40589641000000     		ar = 30034.516551872m²