Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61814 / 76173
↖ ↑ ↗
← S 28.025925°
W 10.222778°		 ← 269.61 m → S 28.025925°
W 10.220032°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
S 28.028349°
W 10.222778°		 ← 269.60 m →
72 674 m²		 S 28.028349°
W 10.220032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471607208251953 y=0.581157684326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471607208251953 × 217)
    floor (0.471607208251953 × 131072)
    floor (61814.5)     		tx = 61814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581157684326172 × 217)
    floor (0.581157684326172 × 131072)
    floor (76173.5)     		ty = 76173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61814 / 76173 ti = "17/61814/76173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61814/76173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61814 ÷ 217
    61814 ÷ 131072     		x = 0.471603393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76173 ÷ 217
    76173 ÷ 131072     		y = 0.581153869628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471603393554688 × 2 - 1) × π
    -0.056793212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17842114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581153869628906 × 2 - 1) × π
    -0.162307739257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.509904801258537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17842114} λ = -0.17842114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509904801258537))-π/2
    2×atan(0.600552747956795)-π/2
    2×0.540825833481219-π/2
    1.08165166696244-1.57079632675     		φ = -0.48914466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17842114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.222778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48914466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.025925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61814 KachelY 76173 -0.17842114 -0.48914466 -10.222778 -28.025925
    Oben rechts KachelX + 1 61815 KachelY 76173 -0.17837320 -0.48914466 -10.220032 -28.025925
    Unten links KachelX 61814 KachelY + 1 76174 -0.17842114 -0.48918697 -10.222778 -28.028349
    Unten rechts KachelX + 1 61815 KachelY + 1 76174 -0.17837320 -0.48918697 -10.220032 -28.028349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48914466--0.48918697) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dl = 269.557009999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48914466--0.48918697) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dr = 269.557009999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17842114--0.17837320) × cos(-0.48914466) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882735080948011 × 6371000     		do = 269.610015322486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17842114--0.17837320) × cos(-0.48918697) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882715199914989 × 6371000     		du = 269.603943143263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48914466)-sin(-0.48918697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882735080948011-0.882715199914989)×R²
    abs(-0.17837320--0.17842114)×1.98810330225285e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98810330225285e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98810330225285e-05×40589641000000     		ar = 72674.4512079728m²