Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61814 / 12617
↖ ↑ ↗
← N 73.514376°
E159.554443°		 ← 173.34 m → N 73.514376°
E159.559937°		 →
↑
173.35 m
↓
↑
173.35 m
↓
N 73.512817°
E159.554443°		 ← 173.36 m →
30 051 m²		 N 73.512817°
E159.559937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943214416503906 y=0.192527770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943214416503906 × 216)
    floor (0.943214416503906 × 65536)
    floor (61814.5)     		tx = 61814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192527770996094 × 216)
    floor (0.192527770996094 × 65536)
    floor (12617.5)     		ty = 12617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61814 / 12617 ti = "16/61814/12617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61814/12617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61814 ÷ 216
    61814 ÷ 65536     		x = 0.943206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12617 ÷ 216
    12617 ÷ 65536     		y = 0.192520141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943206787109375 × 2 - 1) × π
    0.88641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78475037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192520141601562 × 2 - 1) × π
    0.614959716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9319529284875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78475037} λ = 2.78475037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9319529284875))-π/2
    2×atan(6.90297810900754)-π/2
    2×1.42693211687586-π/2
    2.85386423375172-1.57079632675     		φ = 1.28306791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78475037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.554443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28306791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.514376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61814 KachelY 12617 2.78475037 1.28306791 159.554443 73.514376
    Oben rechts KachelX + 1 61815 KachelY 12617 2.78484625 1.28306791 159.559937 73.514376
    Unten links KachelX 61814 KachelY + 1 12618 2.78475037 1.28304070 159.554443 73.512817
    Unten rechts KachelX + 1 61815 KachelY + 1 12618 2.78484625 1.28304070 159.559937 73.512817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28306791-1.28304070) × R
    2.72100000000552e-05 × 6371000     		dl = 173.354910000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28306791-1.28304070) × R
    2.72100000000552e-05 × 6371000     		dr = 173.354910000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78475037-2.78484625) × cos(1.28306791) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.28377475851352 × 6371000     		do = 173.344231225316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78475037-2.78484625) × cos(1.28304070) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.283800849831676 × 6371000     		du = 173.360169145626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28306791)-sin(1.28304070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28377475851352-0.283800849831676)×R²
    abs(2.78484625-2.78475037)×2.60913181553968e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.60913181553968e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.60913181553968e-05×40589641000000     		ar = 30051.4550634728m²