Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61810 / 76624
↖ ↑ ↗
← S 29.113775°
W 10.233765°		 ← 266.84 m → S 29.113775°
W 10.231018°		 →
↑
266.82 m
↓
↑
266.82 m
↓
S 29.116175°
W 10.233765°		 ← 266.83 m →
71 196 m²		 S 29.116175°
W 10.231018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471576690673828 y=0.584598541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471576690673828 × 217)
    floor (0.471576690673828 × 131072)
    floor (61810.5)     		tx = 61810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584598541259766 × 217)
    floor (0.584598541259766 × 131072)
    floor (76624.5)     		ty = 76624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61810 / 76624 ti = "17/61810/76624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61810/76624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61810 ÷ 217
    61810 ÷ 131072     		x = 0.471572875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76624 ÷ 217
    76624 ÷ 131072     		y = 0.5845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471572875976562 × 2 - 1) × π
    -0.056854248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17861289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5845947265625 × 2 - 1) × π
    -0.169189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.531524342987183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17861289} λ = -0.17861289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531524342987183))-π/2
    2×atan(0.587708417320859)-π/2
    2×0.531332544238655-π/2
    1.06266508847731-1.57079632675     		φ = -0.50813124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17861289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.233765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50813124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.113775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61810 KachelY 76624 -0.17861289 -0.50813124 -10.233765 -29.113775
    Oben rechts KachelX + 1 61811 KachelY 76624 -0.17856495 -0.50813124 -10.231018 -29.113775
    Unten links KachelX 61810 KachelY + 1 76625 -0.17861289 -0.50817312 -10.233765 -29.116175
    Unten rechts KachelX + 1 61811 KachelY + 1 76625 -0.17856495 -0.50817312 -10.231018 -29.116175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50813124--0.50817312) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dl = 266.817480000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50813124--0.50817312) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dr = 266.817480000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17861289--0.17856495) × cos(-0.50813124) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873655269300004 × 6371000     		do = 266.836807130832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17861289--0.17856495) × cos(-0.50817312) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.87363489201059 × 6371000     		du = 266.830583382134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50813124)-sin(-0.50817312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873655269300004-0.87363489201059)×R²
    abs(-0.17856495--0.17861289)×2.03772894137311e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.03772894137311e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.03772894137311e-05×40589641000000     		ar = 71195.8941579205m²