Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61809 / 77435
↖ ↑ ↗
← S 31.041168°
W 10.236511°		 ← 261.63 m → S 31.041168°
W 10.233765°		 →
↑
261.66 m
↓
↑
261.66 m
↓
S 31.043521°
W 10.236511°		 ← 261.63 m →
68 457 m²		 S 31.043521°
W 10.233765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471569061279297 y=0.590785980224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471569061279297 × 217)
    floor (0.471569061279297 × 131072)
    floor (61809.5)     		tx = 61809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590785980224609 × 217)
    floor (0.590785980224609 × 131072)
    floor (77435.5)     		ty = 77435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61809 / 77435 ti = "17/61809/77435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61809/77435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61809 ÷ 217
    61809 ÷ 131072     		x = 0.471565246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77435 ÷ 217
    77435 ÷ 131072     		y = 0.590782165527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471565246582031 × 2 - 1) × π
    -0.0568695068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17866082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590782165527344 × 2 - 1) × π
    -0.181564331054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.570401168579048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17866082} λ = -0.17866082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570401168579048))-π/2
    2×atan(0.565298613163559)-π/2
    2×0.514512867312041-π/2
    1.02902573462408-1.57079632675     		φ = -0.54177059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17866082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.236511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54177059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.041168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61809 KachelY 77435 -0.17866082 -0.54177059 -10.236511 -31.041168
    Oben rechts KachelX + 1 61810 KachelY 77435 -0.17861289 -0.54177059 -10.233765 -31.041168
    Unten links KachelX 61809 KachelY + 1 77436 -0.17866082 -0.54181166 -10.236511 -31.043521
    Unten rechts KachelX + 1 61810 KachelY + 1 77436 -0.17861289 -0.54181166 -10.233765 -31.043521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54177059--0.54181166) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dl = 261.65696999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54177059--0.54181166) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dr = 261.65696999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17866082--0.17861289) × cos(-0.54177059) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.856797013340738 × 6371000     		do = 261.633275291674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17866082--0.17861289) × cos(-0.54181166) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.856775834715127 × 6371000     		du = 261.626808143564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54177059)-sin(-0.54181166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856797013340738-0.856775834715127)×R²
    abs(-0.17861289--0.17866082)×2.11786256115731e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11786256115731e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11786256115731e-05×40589641000000     		ar = 68457.3239863441m²