Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61809 / 77039
↖ ↑ ↗
← S 30.104742°
W 10.236511°		 ← 264.17 m → S 30.104742°
W 10.233765°		 →
↑
264.21 m
↓
↑
264.21 m
↓
S 30.107118°
W 10.236511°		 ← 264.17 m →
69 795 m²		 S 30.107118°
W 10.233765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471569061279297 y=0.587764739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471569061279297 × 217)
    floor (0.471569061279297 × 131072)
    floor (61809.5)     		tx = 61809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587764739990234 × 217)
    floor (0.587764739990234 × 131072)
    floor (77039.5)     		ty = 77039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61809 / 77039 ti = "17/61809/77039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61809/77039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61809 ÷ 217
    61809 ÷ 131072     		x = 0.471565246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77039 ÷ 217
    77039 ÷ 131072     		y = 0.587760925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471565246582031 × 2 - 1) × π
    -0.0568695068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17866082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587760925292969 × 2 - 1) × π
    -0.175521850585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.551418156329506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17866082} λ = -0.17866082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.551418156329506))-π/2
    2×atan(0.576132185252246)-π/2
    2×0.522684730790574-π/2
    1.04536946158115-1.57079632675     		φ = -0.52542687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17866082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.236511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52542687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.104742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61809 KachelY 77039 -0.17866082 -0.52542687 -10.236511 -30.104742
    Oben rechts KachelX + 1 61810 KachelY 77039 -0.17861289 -0.52542687 -10.233765 -30.104742
    Unten links KachelX 61809 KachelY + 1 77040 -0.17866082 -0.52546834 -10.236511 -30.107118
    Unten rechts KachelX + 1 61810 KachelY + 1 77040 -0.17861289 -0.52546834 -10.233765 -30.107118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52542687--0.52546834) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dl = 264.205369999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52542687--0.52546834) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dr = 264.205369999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17866082--0.17861289) × cos(-0.52542687) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.865109909995337 × 6371000     		do = 264.171718289302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17866082--0.17861289) × cos(-0.52546834) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.86508910863182 × 6371000     		du = 264.165366342712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52542687)-sin(-0.52546834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865109909995337-0.86508910863182)×R²
    abs(-0.17861289--0.17866082)×2.08013635178972e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08013635178972e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08013635178972e-05×40589641000000     		ar = 69794.7474748267m²