Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61805 / 77405
↖ ↑ ↗
← S 30.970544°
W 10.247497°		 ← 261.83 m → S 30.970544°
W 10.244751°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
S 30.972899°
W 10.247497°		 ← 261.82 m →
68 558 m²		 S 30.972899°
W 10.244751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471538543701172 y=0.590557098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471538543701172 × 217)
    floor (0.471538543701172 × 131072)
    floor (61805.5)     		tx = 61805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590557098388672 × 217)
    floor (0.590557098388672 × 131072)
    floor (77405.5)     		ty = 77405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61805 / 77405 ti = "17/61805/77405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61805/77405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61805 ÷ 217
    61805 ÷ 131072     		x = 0.471534729003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77405 ÷ 217
    77405 ÷ 131072     		y = 0.590553283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471534729003906 × 2 - 1) × π
    -0.0569305419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17885257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590553283691406 × 2 - 1) × π
    -0.181106567382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.568963061590447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17885257} λ = -0.17885257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568963061590447))-π/2
    2×atan(0.566112157891765)-π/2
    2×0.515129178530896-π/2
    1.03025835706179-1.57079632675     		φ = -0.54053797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17885257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.247497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54053797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.970544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61805 KachelY 77405 -0.17885257 -0.54053797 -10.247497 -30.970544
    Oben rechts KachelX + 1 61806 KachelY 77405 -0.17880464 -0.54053797 -10.244751 -30.970544
    Unten links KachelX 61805 KachelY + 1 77406 -0.17885257 -0.54057907 -10.247497 -30.972899
    Unten rechts KachelX + 1 61806 KachelY + 1 77406 -0.17880464 -0.54057907 -10.244751 -30.972899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54053797--0.54057907) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dl = 261.848100000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54053797--0.54057907) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dr = 261.848100000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17885257--0.17880464) × cos(-0.54053797) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.857431967522266 × 6371000     		do = 261.827166189502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17885257--0.17880464) × cos(-0.54057907) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.857410816847457 × 6371000     		du = 261.820707576506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54053797)-sin(-0.54057907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857431967522266-0.857410816847457)×R²
    abs(-0.17880464--0.17885257)×2.11506748089008e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11506748089008e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11506748089008e-05×40589641000000     		ar = 68558.1004171375m²