Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61804 / 77404
↖ ↑ ↗
← S 30.968189°
W 10.250244°		 ← 261.89 m → S 30.968189°
W 10.247497°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
S 30.970544°
W 10.250244°		 ← 261.88 m →
68 574 m²		 S 30.970544°
W 10.247497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471530914306641 y=0.590549468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471530914306641 × 217)
    floor (0.471530914306641 × 131072)
    floor (61804.5)     		tx = 61804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590549468994141 × 217)
    floor (0.590549468994141 × 131072)
    floor (77404.5)     		ty = 77404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61804 / 77404 ti = "17/61804/77404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61804/77404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61804 ÷ 217
    61804 ÷ 131072     		x = 0.471527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77404 ÷ 217
    77404 ÷ 131072     		y = 0.590545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.05694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17890051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590545654296875 × 2 - 1) × π
    -0.18109130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.568915124690826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17890051} λ = -0.17890051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568915124690826))-π/2
    2×atan(0.56613929620391)-π/2
    2×0.515149730099456-π/2
    1.03029946019891-1.57079632675     		φ = -0.54049687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17890051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.250244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54049687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.968189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61804 KachelY 77404 -0.17890051 -0.54049687 -10.250244 -30.968189
    Oben rechts KachelX + 1 61805 KachelY 77404 -0.17885257 -0.54049687 -10.247497 -30.968189
    Unten links KachelX 61804 KachelY + 1 77405 -0.17890051 -0.54053797 -10.250244 -30.970544
    Unten rechts KachelX + 1 61805 KachelY + 1 77405 -0.17885257 -0.54053797 -10.247497 -30.970544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54049687--0.54053797) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dl = 261.848100000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54049687--0.54053797) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dr = 261.848100000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17890051--0.17885257) × cos(-0.54049687) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.857453116748692 × 6371000     		do = 261.888252698407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17890051--0.17885257) × cos(-0.54053797) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.857431967522266 × 6371000     		du = 261.881793180276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54049687)-sin(-0.54053797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857453116748692-0.857431967522266)×R²
    abs(-0.17885257--0.17890051)×2.11492264262647e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11492264262647e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11492264262647e-05×40589641000000     		ar = 68574.0956847597m²