Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61802 / 76878
↖ ↑ ↗
← S 29.721452°
W 10.255737°		 ← 265.19 m → S 29.721452°
W 10.252991°		 →
↑
265.22 m
↓
↑
265.22 m
↓
S 29.723837°
W 10.255737°		 ← 265.18 m →
70 334 m²		 S 29.723837°
W 10.252991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471515655517578 y=0.586536407470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471515655517578 × 217)
    floor (0.471515655517578 × 131072)
    floor (61802.5)     		tx = 61802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586536407470703 × 217)
    floor (0.586536407470703 × 131072)
    floor (76878.5)     		ty = 76878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61802 / 76878 ti = "17/61802/76878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61802/76878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61802 ÷ 217
    61802 ÷ 131072     		x = 0.471511840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76878 ÷ 217
    76878 ÷ 131072     		y = 0.586532592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471511840820312 × 2 - 1) × π
    -0.056976318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17899638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586532592773438 × 2 - 1) × π
    -0.173065185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.543700315490677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17899638} λ = -0.17899638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543700315490677))-π/2
    2×atan(0.580595884664265)-π/2
    2×0.526029566194477-π/2
    1.05205913238895-1.57079632675     		φ = -0.51873719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17899638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.255737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51873719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.721452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61802 KachelY 76878 -0.17899638 -0.51873719 -10.255737 -29.721452
    Oben rechts KachelX + 1 61803 KachelY 76878 -0.17894845 -0.51873719 -10.252991 -29.721452
    Unten links KachelX 61802 KachelY + 1 76879 -0.17899638 -0.51877882 -10.255737 -29.723837
    Unten rechts KachelX + 1 61803 KachelY + 1 76879 -0.17894845 -0.51877882 -10.252991 -29.723837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51873719--0.51877882) × R
    4.16300000000147e-05 × 6371000     		dl = 265.224730000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51873719--0.51877882) × R
    4.16300000000147e-05 × 6371000     		dr = 265.224730000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17899638--0.17894845) × cos(-0.51873719) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868445952766952 × 6371000     		do = 265.190419082209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17899638--0.17894845) × cos(-0.51877882) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868425312532699 × 6371000     		du = 265.184116338378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51873719)-sin(-0.51877882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868445952766952-0.868425312532699)×R²
    abs(-0.17894845--0.17899638)×2.06402342530776e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.06402342530776e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.06402342530776e-05×40589641000000     		ar = 70334.2214880805m²