Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6180 / 7372
↖ ↑ ↗
← N 17.727759°
W 44.208985°		 ← 2 327.26 m → N 17.727759°
W 44.187012°		 →
↑
2 327.39 m
↓
↑
2 327.39 m
↓
N 17.706828°
W 44.208985°		 ← 2 327.53 m →
5 416 751 m²		 N 17.706828°
W 44.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377227783203125 y=0.449981689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377227783203125 × 214)
    floor (0.377227783203125 × 16384)
    floor (6180.5)     		tx = 6180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449981689453125 × 214)
    floor (0.449981689453125 × 16384)
    floor (7372.5)     		ty = 7372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6180 / 7372 ti = "14/6180/7372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6180/7372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6180 ÷ 214
    6180 ÷ 16384     		x = 0.377197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7372 ÷ 214
    7372 ÷ 16384     		y = 0.449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377197265625 × 2 - 1) × π
    -0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449951171875 × 2 - 1) × π
    0.10009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.314466061507568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77159234} λ = -0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314466061507568))-π/2
    2×atan(1.36952787205533)-π/2
    2×0.940102041763515-π/2
    1.88020408352703-1.57079632675     		φ = 0.30940776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30940776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.727759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6180 KachelY 7372 -0.77159234 0.30940776 -44.208985 17.727759
    Oben rechts KachelX + 1 6181 KachelY 7372 -0.77120884 0.30940776 -44.187012 17.727759
    Unten links KachelX 6180 KachelY + 1 7373 -0.77159234 0.30904245 -44.208985 17.706828
    Unten rechts KachelX + 1 6181 KachelY + 1 7373 -0.77120884 0.30904245 -44.187012 17.706828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30940776-0.30904245) × R
    0.000365309999999952 × 6371000     		dl = 2327.39000999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30940776-0.30904245) × R
    0.000365309999999952 × 6371000     		dr = 2327.39000999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77159234--0.77120884) × cos(0.30940776) × R
    0.000383499999999981 × 0.952514070787353 × 6371000     		do = 2327.2571501021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77159234--0.77120884) × cos(0.30904245) × R
    0.000383499999999981 × 0.952625242140155 × 6371000     		du = 2327.52877267822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30940776)-sin(0.30904245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952514070787353-0.952625242140155)×R²
    abs(-0.77120884--0.77159234)×0.000111171352802364×R²
    0.000383499999999981×0.000111171352802364×6371000²
    0.000383499999999981×0.000111171352802364×40589641000000     		ar = 5416751.18792235m²