Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61795 / 28357
↖ ↑ ↗
← N 70.897775°
W 10.274963°		 ← 99.95 m → N 70.897775°
W 10.272217°		 →
↑
99.96 m
↓
↑
99.96 m
↓
N 70.896876°
W 10.274963°		 ← 99.96 m →
9 992 m²		 N 70.896876°
W 10.272217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471462249755859 y=0.216350555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471462249755859 × 217)
    floor (0.471462249755859 × 131072)
    floor (61795.5)     		tx = 61795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216350555419922 × 217)
    floor (0.216350555419922 × 131072)
    floor (28357.5)     		ty = 28357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61795 / 28357 ti = "17/61795/28357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61795/28357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61795 ÷ 217
    61795 ÷ 131072     		x = 0.471458435058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28357 ÷ 217
    28357 ÷ 131072     		y = 0.216346740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471458435058594 × 2 - 1) × π
    -0.0570831298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17933194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216346740722656 × 2 - 1) × π
    0.567306518554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.78224599097407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17933194} λ = -0.17933194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78224599097407))-π/2
    2×atan(5.94318979029608)-π/2
    2×1.40409796310349-π/2
    2.80819592620697-1.57079632675     		φ = 1.23739960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17933194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.274963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23739960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.897775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61795 KachelY 28357 -0.17933194 1.23739960 -10.274963 70.897775
    Oben rechts KachelX + 1 61796 KachelY 28357 -0.17928400 1.23739960 -10.272217 70.897775
    Unten links KachelX 61795 KachelY + 1 28358 -0.17933194 1.23738391 -10.274963 70.896876
    Unten rechts KachelX + 1 61796 KachelY + 1 28358 -0.17928400 1.23738391 -10.272217 70.896876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23739960-1.23738391) × R
    1.56900000001237e-05 × 6371000     		dl = 99.9609900007878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23739960-1.23738391) × R
    1.56900000001237e-05 × 6371000     		dr = 99.9609900007878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17933194--0.17928400) × cos(1.23739960) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.327254600230514 × 6371000     		do = 99.9519784438011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17933194--0.17928400) × cos(1.23738391) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.327269426239248 × 6371000     		du = 99.95650668849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23739960)-sin(1.23738391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327254600230514-0.327269426239248)×R²
    abs(-0.17928400--0.17933194)×1.48260087342034e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.48260087342034e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.48260087342034e-05×40589641000000     		ar = 9991.525041764m²