Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61795 / 12651
↖ ↑ ↗
← N 73.461293°
E159.450073°		 ← 173.87 m → N 73.461293°
E159.455566°		 →
↑
173.93 m
↓
↑
173.93 m
↓
N 73.459729°
E159.450073°		 ← 173.88 m →
30 242 m²		 N 73.459729°
E159.455566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942924499511719 y=0.193046569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942924499511719 × 216)
    floor (0.942924499511719 × 65536)
    floor (61795.5)     		tx = 61795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193046569824219 × 216)
    floor (0.193046569824219 × 65536)
    floor (12651.5)     		ty = 12651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61795 / 12651 ti = "16/61795/12651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61795/12651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61795 ÷ 216
    61795 ÷ 65536     		x = 0.942916870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12651 ÷ 216
    12651 ÷ 65536     		y = 0.193038940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942916870117188 × 2 - 1) × π
    0.885833740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78292877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193038940429688 × 2 - 1) × π
    0.613922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92869321931334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78292877} λ = 2.78292877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92869321931334))-π/2
    2×atan(6.88051304262032)-π/2
    2×1.42646888175419-π/2
    2.85293776350837-1.57079632675     		φ = 1.28214144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78292877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.450073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28214144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.461293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61795 KachelY 12651 2.78292877 1.28214144 159.450073 73.461293
    Oben rechts KachelX + 1 61796 KachelY 12651 2.78302464 1.28214144 159.455566 73.461293
    Unten links KachelX 61795 KachelY + 1 12652 2.78292877 1.28211414 159.450073 73.459729
    Unten rechts KachelX + 1 61796 KachelY + 1 12652 2.78302464 1.28211414 159.455566 73.459729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28214144-1.28211414) × R
    2.72999999999524e-05 × 6371000     		dl = 173.928299999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28214144-1.28211414) × R
    2.72999999999524e-05 × 6371000     		dr = 173.928299999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78292877-2.78302464) × cos(1.28214144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.284663020311998 × 6371000     		do = 173.868691377826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78292877-2.78302464) × cos(1.28211414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.284689190740669 × 6371000     		du = 173.884675955594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28214144)-sin(1.28211414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284663020311998-0.284689190740669)×R²
    abs(2.78302464-2.78292877)×2.61704286712017e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.61704286712017e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.61704286712017e-05×40589641000000     		ar = 30242.0760014198m²