Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61792 / 76320
↖ ↑ ↗
← S 28.381735°
W 10.283203°		 ← 268.66 m → S 28.381735°
W 10.280457°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
S 28.384152°
W 10.283203°		 ← 268.65 m →
72 195 m²		 S 28.384152°
W 10.280457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471439361572266 y=0.582279205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471439361572266 × 217)
    floor (0.471439361572266 × 131072)
    floor (61792.5)     		tx = 61792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582279205322266 × 217)
    floor (0.582279205322266 × 131072)
    floor (76320.5)     		ty = 76320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61792 / 76320 ti = "17/61792/76320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61792/76320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61792 ÷ 217
    61792 ÷ 131072     		x = 0.471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76320 ÷ 217
    76320 ÷ 131072     		y = 0.582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.05712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17947575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.516951525502686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17947575} λ = -0.17947575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516951525502686))-π/2
    2×atan(0.596335694006302)-π/2
    2×0.537720801437499-π/2
    1.075441602875-1.57079632675     		φ = -0.49535472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17947575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49535472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.381735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61792 KachelY 76320 -0.17947575 -0.49535472 -10.283203 -28.381735
    Oben rechts KachelX + 1 61793 KachelY 76320 -0.17942782 -0.49535472 -10.280457 -28.381735
    Unten links KachelX 61792 KachelY + 1 76321 -0.17947575 -0.49539690 -10.283203 -28.384152
    Unten rechts KachelX + 1 61793 KachelY + 1 76321 -0.17942782 -0.49539690 -10.280457 -28.384152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49535472--0.49539690) × R
    4.21799999999473e-05 × 6371000     		dl = 268.728779999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49535472--0.49539690) × R
    4.21799999999473e-05 × 6371000     		dr = 268.728779999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17947575--0.17942782) × cos(-0.49535472) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.879800151250806 × 6371000     		do = 268.657560180262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17947575--0.17942782) × cos(-0.49539690) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.879780100468202 × 6371000     		du = 268.651437432583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49535472)-sin(-0.49539690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879800151250806-0.879780100468202)×R²
    abs(-0.17942782--0.17947575)×2.00507826036977e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.00507826036977e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.00507826036977e-05×40589641000000     		ar = 72195.1957163182m²