Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61790 / 12643
↖ ↑ ↗
← N 73.473798°
E159.422607°		 ← 173.76 m → N 73.473798°
E159.428101°		 →
↑
173.74 m
↓
↑
173.74 m
↓
N 73.472236°
E159.422607°		 ← 173.77 m →
30 190 m²		 N 73.472236°
E159.428101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942848205566406 y=0.192924499511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942848205566406 × 216)
    floor (0.942848205566406 × 65536)
    floor (61790.5)     		tx = 61790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192924499511719 × 216)
    floor (0.192924499511719 × 65536)
    floor (12643.5)     		ty = 12643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61790 / 12643 ti = "16/61790/12643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61790/12643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61790 ÷ 216
    61790 ÷ 65536     		x = 0.942840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12643 ÷ 216
    12643 ÷ 65536     		y = 0.192916870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942840576171875 × 2 - 1) × π
    0.88568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78244940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192916870117188 × 2 - 1) × π
    0.614166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92946020970726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78244940} λ = 2.78244940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92946020970726))-π/2
    2×atan(6.88579235436115)-π/2
    2×1.42657800853247-π/2
    2.85315601706495-1.57079632675     		φ = 1.28235969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78244940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.422607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28235969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.473798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61790 KachelY 12643 2.78244940 1.28235969 159.422607 73.473798
    Oben rechts KachelX + 1 61791 KachelY 12643 2.78254528 1.28235969 159.428101 73.473798
    Unten links KachelX 61790 KachelY + 1 12644 2.78244940 1.28233242 159.422607 73.472236
    Unten rechts KachelX + 1 61791 KachelY + 1 12644 2.78254528 1.28233242 159.428101 73.472236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28235969-1.28233242) × R
    2.72700000001347e-05 × 6371000     		dl = 173.737170000858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28235969-1.28233242) × R
    2.72700000001347e-05 × 6371000     		dr = 173.737170000858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78244940-2.78254528) × cos(1.28235969) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.284453793050098 × 6371000     		do = 173.759020476152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78244940-2.78254528) × cos(1.28233242) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.284479936413851 × 6371000     		du = 173.774990188593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28235969)-sin(1.28233242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284453793050098-0.284479936413851)×R²
    abs(2.78254528-2.78244940)×2.61433637526731e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.61433637526731e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.61433637526731e-05×40589641000000     		ar = 30189.7877475596m²