Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6179 / 10050
↖ ↑ ↗
← S 37.753344°
W 44.230957°		 ← 1 931.74 m → S 37.753344°
W 44.208985°		 →
↑
1 931.50 m
↓
↑
1 931.50 m
↓
S 37.770715°
W 44.230957°		 ← 1 931.28 m →
3 730 705 m²		 S 37.770715°
W 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377166748046875 y=0.613433837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377166748046875 × 214)
    floor (0.377166748046875 × 16384)
    floor (6179.5)     		tx = 6179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613433837890625 × 214)
    floor (0.613433837890625 × 16384)
    floor (10050.5)     		ty = 10050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6179 / 10050 ti = "14/6179/10050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6179/10050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6179 ÷ 214
    6179 ÷ 16384     		x = 0.37713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10050 ÷ 214
    10050 ÷ 16384     		y = 0.6134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.2457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77197583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.226806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.712534075952515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77197583} λ = -0.77197583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.712534075952515))-π/2
    2×atan(0.490399910947105)-π/2
    2×0.4559380850721-π/2
    0.9118761701442-1.57079632675     		φ = -0.65892016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77197583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.230957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65892016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.753344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6179 KachelY 10050 -0.77197583 -0.65892016 -44.230957 -37.753344
    Oben rechts KachelX + 1 6180 KachelY 10050 -0.77159234 -0.65892016 -44.208985 -37.753344
    Unten links KachelX 6179 KachelY + 1 10051 -0.77197583 -0.65922333 -44.230957 -37.770715
    Unten rechts KachelX + 1 6180 KachelY + 1 10051 -0.77159234 -0.65922333 -44.208985 -37.770715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65892016--0.65922333) × R
    0.000303170000000019 × 6371000     		dl = 1931.49607000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65892016--0.65922333) × R
    0.000303170000000019 × 6371000     		dr = 1931.49607000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77197583--0.77159234) × cos(-0.65892016) × R
    0.000383490000000042 × 0.790653838883208 × 6371000     		do = 1931.73715292994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77197583--0.77159234) × cos(-0.65922333) × R
    0.000383490000000042 × 0.790468182646834 × 6371000     		du = 1931.28355486738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65892016)-sin(-0.65922333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.790653838883208-0.790468182646834)×R²
    abs(-0.77159234--0.77197583)×0.00018565623637401×R²
    0.000383490000000042×0.00018565623637401×6371000²
    0.000383490000000042×0.00018565623637401×40589641000000     		ar = 3730704.68629448m²