Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61788 / 76179
↖ ↑ ↗
← S 28.040471°
W 10.294189°		 ← 269.57 m → S 28.040471°
W 10.291443°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
S 28.042895°
W 10.294189°		 ← 269.57 m →
72 665 m²		 S 28.042895°
W 10.291443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471408843994141 y=0.581203460693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471408843994141 × 217)
    floor (0.471408843994141 × 131072)
    floor (61788.5)     		tx = 61788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581203460693359 × 217)
    floor (0.581203460693359 × 131072)
    floor (76179.5)     		ty = 76179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61788 / 76179 ti = "17/61788/76179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61788/76179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61788 ÷ 217
    61788 ÷ 131072     		x = 0.471405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76179 ÷ 217
    76179 ÷ 131072     		y = 0.581199645996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.05718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17966750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581199645996094 × 2 - 1) × π
    -0.162399291992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.510192422656258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17966750} λ = -0.17966750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510192422656258))-π/2
    2×atan(0.600380040974325)-π/2
    2×0.540698895311392-π/2
    1.08139779062278-1.57079632675     		φ = -0.48939854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17966750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.294189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48939854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.040471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61788 KachelY 76179 -0.17966750 -0.48939854 -10.294189 -28.040471
    Oben rechts KachelX + 1 61789 KachelY 76179 -0.17961956 -0.48939854 -10.291443 -28.040471
    Unten links KachelX 61788 KachelY + 1 76180 -0.17966750 -0.48944085 -10.294189 -28.042895
    Unten rechts KachelX + 1 61789 KachelY + 1 76180 -0.17961956 -0.48944085 -10.291443 -28.042895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48939854--0.48944085) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dl = 269.557009999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48939854--0.48944085) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dr = 269.557009999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17966750--0.17961956) × cos(-0.48939854) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882615761645981 × 6371000     		do = 269.573572136367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17966750--0.17961956) × cos(-0.48944085) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882595871131663 × 6371000     		du = 269.567497061312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48939854)-sin(-0.48944085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882615761645981-0.882595871131663)×R²
    abs(-0.17961956--0.17966750)×1.98905143174999e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98905143174999e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98905143174999e-05×40589641000000     		ar = 72664.6273013639m²