Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61788 / 40392
↖ ↑ ↗
← N 56.644147°
W 10.294189°		 ← 167.93 m → N 56.644147°
W 10.291443°		 →
↑
167.94 m
↓
↑
167.94 m
↓
N 56.642637°
W 10.294189°		 ← 167.94 m →
28 203 m²		 N 56.642637°
W 10.291443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471408843994141 y=0.308170318603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471408843994141 × 217)
    floor (0.471408843994141 × 131072)
    floor (61788.5)     		tx = 61788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308170318603516 × 217)
    floor (0.308170318603516 × 131072)
    floor (40392.5)     		ty = 40392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61788 / 40392 ti = "17/61788/40392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61788/40392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61788 ÷ 217
    61788 ÷ 131072     		x = 0.471405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40392 ÷ 217
    40392 ÷ 131072     		y = 0.30816650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.05718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17966750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30816650390625 × 2 - 1) × π
    0.3836669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20532540404669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17966750} λ = -0.17966750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20532540404669))-π/2
    2×atan(3.33784504965445)-π/2
    2×1.27971159732128-π/2
    2.55942319464257-1.57079632675     		φ = 0.98862687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17966750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.294189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98862687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.644147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61788 KachelY 40392 -0.17966750 0.98862687 -10.294189 56.644147
    Oben rechts KachelX + 1 61789 KachelY 40392 -0.17961956 0.98862687 -10.291443 56.644147
    Unten links KachelX 61788 KachelY + 1 40393 -0.17966750 0.98860051 -10.294189 56.642637
    Unten rechts KachelX + 1 61789 KachelY + 1 40393 -0.17961956 0.98860051 -10.291443 56.642637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98862687-0.98860051) × R
    2.6360000000003e-05 × 6371000     		dl = 167.939560000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98862687-0.98860051) × R
    2.6360000000003e-05 × 6371000     		dr = 167.939560000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17966750--0.17961956) × cos(0.98862687) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549837315299393 × 6371000     		do = 167.934468904917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17966750--0.17961956) × cos(0.98860051) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549859332872172 × 6371000     		du = 167.941193638377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98862687)-sin(0.98860051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549837315299393-0.549859332872172)×R²
    abs(-0.17961956--0.17966750)×2.20175727793093e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20175727793093e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20175727793093e-05×40589641000000     		ar = 28203.4054927456m²