Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61786 / 76851
↖ ↑ ↗
← S 29.657029°
W 10.299682°		 ← 265.36 m → S 29.657029°
W 10.296936°		 →
↑
265.35 m
↓
↑
265.35 m
↓
S 29.659416°
W 10.299682°		 ← 265.35 m →
70 413 m²		 S 29.659416°
W 10.296936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471393585205078 y=0.586330413818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471393585205078 × 217)
    floor (0.471393585205078 × 131072)
    floor (61786.5)     		tx = 61786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586330413818359 × 217)
    floor (0.586330413818359 × 131072)
    floor (76851.5)     		ty = 76851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61786 / 76851 ti = "17/61786/76851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61786/76851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61786 ÷ 217
    61786 ÷ 131072     		x = 0.471389770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76851 ÷ 217
    76851 ÷ 131072     		y = 0.586326599121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471389770507812 × 2 - 1) × π
    -0.057220458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17976337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586326599121094 × 2 - 1) × π
    -0.172653198242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.542406019200935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17976337} λ = -0.17976337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.542406019200935))-π/2
    2×atan(0.581347834281453)-π/2
    2×0.526591759619913-π/2
    1.05318351923983-1.57079632675     		φ = -0.51761281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17976337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.299682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51761281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.657029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61786 KachelY 76851 -0.17976337 -0.51761281 -10.299682 -29.657029
    Oben rechts KachelX + 1 61787 KachelY 76851 -0.17971544 -0.51761281 -10.296936 -29.657029
    Unten links KachelX 61786 KachelY + 1 76852 -0.17976337 -0.51765446 -10.299682 -29.659416
    Unten rechts KachelX + 1 61787 KachelY + 1 76852 -0.17971544 -0.51765446 -10.296936 -29.659416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51761281--0.51765446) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dl = 265.352150000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51761281--0.51765446) × R
    4.16500000000042e-05 × 6371000     		dr = 265.352150000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17976337--0.17971544) × cos(-0.51761281) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.869002853138298 × 6371000     		do = 265.360475310111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17976337--0.17971544) × cos(-0.51765446) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868982243669901 × 6371000     		du = 265.354181961004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51761281)-sin(-0.51765446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869002853138298-0.868982243669901)×R²
    abs(-0.17971544--0.17976337)×2.06094683974367e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.06094683974367e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.06094683974367e-05×40589641000000     		ar = 70413.1376818251m²