Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61785 / 76254
↖ ↑ ↗
← S 28.222130°
W 10.302429°		 ← 269.12 m → S 28.222130°
W 10.299682°		 →
↑
269.11 m
↓
↑
269.11 m
↓
S 28.224550°
W 10.302429°		 ← 269.11 m →
72 422 m²		 S 28.224550°
W 10.299682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471385955810547 y=0.581775665283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471385955810547 × 217)
    floor (0.471385955810547 × 131072)
    floor (61785.5)     		tx = 61785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581775665283203 × 217)
    floor (0.581775665283203 × 131072)
    floor (76254.5)     		ty = 76254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61785 / 76254 ti = "17/61785/76254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61785/76254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61785 ÷ 217
    61785 ÷ 131072     		x = 0.471382141113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76254 ÷ 217
    76254 ÷ 131072     		y = 0.581771850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471382141113281 × 2 - 1) × π
    -0.0572357177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17981131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581771850585938 × 2 - 1) × π
    -0.163543701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.513787690127762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17981131} λ = -0.17981131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513787690127762))-π/2
    2×atan(0.598225389737131)-π/2
    2×0.539113618128514-π/2
    1.07822723625703-1.57079632675     		φ = -0.49256909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17981131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.302429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49256909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.222130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61785 KachelY 76254 -0.17981131 -0.49256909 -10.302429 -28.222130
    Oben rechts KachelX + 1 61786 KachelY 76254 -0.17976337 -0.49256909 -10.299682 -28.222130
    Unten links KachelX 61785 KachelY + 1 76255 -0.17981131 -0.49261133 -10.302429 -28.224550
    Unten rechts KachelX + 1 61786 KachelY + 1 76255 -0.17976337 -0.49261133 -10.299682 -28.224550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49256909--0.49261133) × R
    4.22400000000267e-05 × 6371000     		dl = 269.11104000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49256909--0.49261133) × R
    4.22400000000267e-05 × 6371000     		dr = 269.11104000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17981131--0.17976337) × cos(-0.49256909) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.881120867881712 × 6371000     		do = 269.116993102193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17981131--0.17976337) × cos(-0.49261133) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.881100892174539 × 6371000     		du = 269.110892007048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49256909)-sin(-0.49261133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881120867881712-0.881100892174539)×R²
    abs(-0.17976337--0.17981131)×1.99757071732698e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.99757071732698e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.99757071732698e-05×40589641000000     		ar = 72421.5329702686m²