Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61781 / 76267
↖ ↑ ↗
← S 28.253587°
W 10.313416°		 ← 269.04 m → S 28.253587°
W 10.310669°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
S 28.256006°
W 10.313416°		 ← 269.03 m →
72 366 m²		 S 28.256006°
W 10.310669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471355438232422 y=0.581874847412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471355438232422 × 217)
    floor (0.471355438232422 × 131072)
    floor (61781.5)     		tx = 61781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581874847412109 × 217)
    floor (0.581874847412109 × 131072)
    floor (76267.5)     		ty = 76267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61781 / 76267 ti = "17/61781/76267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61781/76267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61781 ÷ 217
    61781 ÷ 131072     		x = 0.471351623535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76267 ÷ 217
    76267 ÷ 131072     		y = 0.581871032714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471351623535156 × 2 - 1) × π
    -0.0572967529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18000306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581871032714844 × 2 - 1) × π
    -0.163742065429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.514410869822823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18000306} λ = -0.18000306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514410869822823))-π/2
    2×atan(0.597852703958343)-π/2
    2×0.538839110275698-π/2
    1.0776782205514-1.57079632675     		φ = -0.49311811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18000306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.313416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49311811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.253587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61781 KachelY 76267 -0.18000306 -0.49311811 -10.313416 -28.253587
    Oben rechts KachelX + 1 61782 KachelY 76267 -0.17995512 -0.49311811 -10.310669 -28.253587
    Unten links KachelX 61781 KachelY + 1 76268 -0.18000306 -0.49316033 -10.313416 -28.256006
    Unten rechts KachelX + 1 61782 KachelY + 1 76268 -0.17995512 -0.49316033 -10.310669 -28.256006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49311811--0.49316033) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dl = 268.983619999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49311811--0.49316033) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dr = 268.983619999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18000306--0.17995512) × cos(-0.49311811) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.880861108414234 × 6371000     		do = 269.037655874617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18000306--0.17995512) × cos(-0.49316033) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.880841121744818 × 6371000     		du = 269.031551431321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49311811)-sin(-0.49316033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880861108414234-0.880841121744818)×R²
    abs(-0.17995512--0.18000306)×1.99866694157169e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.99866694157169e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.99866694157169e-05×40589641000000     		ar = 72365.9016065454m²