Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61781 / 34420
↖ ↑ ↗
← N 64.637998°
W 10.313416°		 ← 130.82 m → N 64.637998°
W 10.310669°		 →
↑
130.80 m
↓
↑
130.80 m
↓
N 64.636822°
W 10.313416°		 ← 130.83 m →
17 112 m²		 N 64.636822°
W 10.310669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471355438232422 y=0.262607574462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471355438232422 × 217)
    floor (0.471355438232422 × 131072)
    floor (61781.5)     		tx = 61781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262607574462891 × 217)
    floor (0.262607574462891 × 131072)
    floor (34420.5)     		ty = 34420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61781 / 34420 ti = "17/61781/34420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61781/34420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61781 ÷ 217
    61781 ÷ 131072     		x = 0.471351623535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34420 ÷ 217
    34420 ÷ 131072     		y = 0.262603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471351623535156 × 2 - 1) × π
    -0.0572967529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18000306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262603759765625 × 2 - 1) × π
    0.47479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49160456857767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18000306} λ = -0.18000306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49160456857767))-π/2
    2×atan(4.44422085806838)-π/2
    2×1.34947111028667-π/2
    2.69894222057335-1.57079632675     		φ = 1.12814589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18000306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.313416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12814589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.637998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61781 KachelY 34420 -0.18000306 1.12814589 -10.313416 64.637998
    Oben rechts KachelX + 1 61782 KachelY 34420 -0.17995512 1.12814589 -10.310669 64.637998
    Unten links KachelX 61781 KachelY + 1 34421 -0.18000306 1.12812536 -10.313416 64.636822
    Unten rechts KachelX + 1 61782 KachelY + 1 34421 -0.17995512 1.12812536 -10.310669 64.636822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12814589-1.12812536) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dl = 130.796630000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12814589-1.12812536) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dr = 130.796630000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18000306--0.17995512) × cos(1.12814589) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428335953284734 × 6371000     		do = 130.824825500585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18000306--0.17995512) × cos(1.12812536) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428354504504053 × 6371000     		du = 130.830491520474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12814589)-sin(1.12812536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428335953284734-0.428354504504053)×R²
    abs(-0.17995512--0.18000306)×1.85512193194848e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85512193194848e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85512193194848e-05×40589641000000     		ar = 17111.816844526m²