Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61779 / 76836
↖ ↑ ↗
← S 29.621221°
W 10.318909°		 ← 265.51 m → S 29.621221°
W 10.316162°		 →
↑
265.48 m
↓
↑
265.48 m
↓
S 29.623609°
W 10.318909°		 ← 265.50 m →
70 487 m²		 S 29.623609°
W 10.316162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471340179443359 y=0.586215972900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471340179443359 × 217)
    floor (0.471340179443359 × 131072)
    floor (61779.5)     		tx = 61779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586215972900391 × 217)
    floor (0.586215972900391 × 131072)
    floor (76836.5)     		ty = 76836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61779 / 76836 ti = "17/61779/76836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61779/76836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61779 ÷ 217
    61779 ÷ 131072     		x = 0.471336364746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76836 ÷ 217
    76836 ÷ 131072     		y = 0.586212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471336364746094 × 2 - 1) × π
    -0.0573272705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18009893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.17242431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.541686965706635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18009893} λ = -0.18009893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541686965706635))-π/2
    2×atan(0.581766004798565)-π/2
    2×0.526904244955777-π/2
    1.05380848991155-1.57079632675     		φ = -0.51698784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18009893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.318909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51698784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.621221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61779 KachelY 76836 -0.18009893 -0.51698784 -10.318909 -29.621221
    Oben rechts KachelX + 1 61780 KachelY 76836 -0.18005099 -0.51698784 -10.316162 -29.621221
    Unten links KachelX 61779 KachelY + 1 76837 -0.18009893 -0.51702951 -10.318909 -29.623609
    Unten rechts KachelX + 1 61780 KachelY + 1 76837 -0.18005099 -0.51702951 -10.316162 -29.623609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51698784--0.51702951) × R
    4.16699999999937e-05 × 6371000     		dl = 265.47956999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51698784--0.51702951) × R
    4.16699999999937e-05 × 6371000     		dr = 265.47956999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18009893--0.18005099) × cos(-0.51698784) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869311922984862 × 6371000     		do = 265.510237368454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18009893--0.18005099) × cos(-0.51702951) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869291326254363 × 6371000     		du = 265.5039465968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51698784)-sin(-0.51702951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869311922984862-0.869291326254363)×R²
    abs(-0.18005099--0.18009893)×2.05967304993671e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05967304993671e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05967304993671e-05×40589641000000     		ar = 70486.708621629m²