Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61777 / 76839
↖ ↑ ↗
← S 29.628384°
W 10.324402°		 ← 265.49 m → S 29.628384°
W 10.321655°		 →
↑
265.48 m
↓
↑
265.48 m
↓
S 29.630771°
W 10.324402°		 ← 265.49 m →
70 482 m²		 S 29.630771°
W 10.321655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471324920654297 y=0.586238861083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471324920654297 × 217)
    floor (0.471324920654297 × 131072)
    floor (61777.5)     		tx = 61777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586238861083984 × 217)
    floor (0.586238861083984 × 131072)
    floor (76839.5)     		ty = 76839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61777 / 76839 ti = "17/61777/76839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61777/76839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61777 ÷ 217
    61777 ÷ 131072     		x = 0.471321105957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76839 ÷ 217
    76839 ÷ 131072     		y = 0.586235046386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471321105957031 × 2 - 1) × π
    -0.0573577880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18019481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586235046386719 × 2 - 1) × π
    -0.172470092773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.541830776405495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18019481} λ = -0.18019481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541830776405495))-π/2
    2×atan(0.581682346638456)-π/2
    2×0.526841738999745-π/2
    1.05368347799949-1.57079632675     		φ = -0.51711285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18019481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.324402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51711285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.628384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61777 KachelY 76839 -0.18019481 -0.51711285 -10.324402 -29.628384
    Oben rechts KachelX + 1 61778 KachelY 76839 -0.18014687 -0.51711285 -10.321655 -29.628384
    Unten links KachelX 61777 KachelY + 1 76840 -0.18019481 -0.51715452 -10.324402 -29.630771
    Unten rechts KachelX + 1 61778 KachelY + 1 76840 -0.18014687 -0.51715452 -10.321655 -29.630771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51711285--0.51715452) × R
    4.16699999999937e-05 × 6371000     		dl = 265.47956999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51711285--0.51715452) × R
    4.16699999999937e-05 × 6371000     		dr = 265.47956999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18019481--0.18014687) × cos(-0.51711285) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.869250128265116 × 6371000     		do = 265.491363670601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18019481--0.18014687) × cos(-0.51715452) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.869229527006441 × 6371000     		du = 265.485071515926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51711285)-sin(-0.51715452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869250128265116-0.869229527006441)×R²
    abs(-0.18014687--0.18019481)×2.06012586755344e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06012586755344e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06012586755344e-05×40589641000000     		ar = 70481.6978569662m²