Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61777 / 76176
↖ ↑ ↗
← S 28.033198°
W 10.324402°		 ← 269.59 m → S 28.033198°
W 10.321655°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
S 28.035622°
W 10.324402°		 ← 269.59 m →
72 670 m²		 S 28.035622°
W 10.321655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471324920654297 y=0.581180572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471324920654297 × 217)
    floor (0.471324920654297 × 131072)
    floor (61777.5)     		tx = 61777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581180572509766 × 217)
    floor (0.581180572509766 × 131072)
    floor (76176.5)     		ty = 76176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61777 / 76176 ti = "17/61777/76176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61777/76176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61777 ÷ 217
    61777 ÷ 131072     		x = 0.471321105957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76176 ÷ 217
    76176 ÷ 131072     		y = 0.5811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471321105957031 × 2 - 1) × π
    -0.0573577880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18019481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5811767578125 × 2 - 1) × π
    -0.162353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.510048611957397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18019481} λ = -0.18019481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510048611957397))-π/2
    2×atan(0.600466388256282)-π/2
    2×0.540762362251412-π/2
    1.08152472450282-1.57079632675     		φ = -0.48927160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18019481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.324402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48927160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.033198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61777 KachelY 76176 -0.18019481 -0.48927160 -10.324402 -28.033198
    Oben rechts KachelX + 1 61778 KachelY 76176 -0.18014687 -0.48927160 -10.321655 -28.033198
    Unten links KachelX 61777 KachelY + 1 76177 -0.18019481 -0.48931391 -10.324402 -28.035622
    Unten rechts KachelX + 1 61778 KachelY + 1 76177 -0.18014687 -0.48931391 -10.321655 -28.035622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48927160--0.48931391) × R
    4.23100000000454e-05 × 6371000     		dl = 269.557010000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48927160--0.48931391) × R
    4.23100000000454e-05 × 6371000     		dr = 269.557010000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18019481--0.18014687) × cos(-0.48927160) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882675428408608 × 6371000     		do = 269.591795901651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18019481--0.18014687) × cos(-0.48931391) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882655542634777 × 6371000     		du = 269.585722274464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48927160)-sin(-0.48931391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882675428408608-0.882655542634777)×R²
    abs(-0.18014687--0.18019481)×1.98857738302749e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98857738302749e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98857738302749e-05×40589641000000     		ar = 72669.5398403264m²