Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61776 / 76269
↖ ↑ ↗
← S 28.258425°
W 10.327148°		 ← 268.97 m → S 28.258425°
W 10.324402°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
S 28.260844°
W 10.327148°		 ← 268.96 m →
72 348 m²		 S 28.260844°
W 10.324402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471317291259766 y=0.581890106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471317291259766 × 217)
    floor (0.471317291259766 × 131072)
    floor (61776.5)     		tx = 61776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581890106201172 × 217)
    floor (0.581890106201172 × 131072)
    floor (76269.5)     		ty = 76269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61776 / 76269 ti = "17/61776/76269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61776/76269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61776 ÷ 217
    61776 ÷ 131072     		x = 0.4713134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76269 ÷ 217
    76269 ÷ 131072     		y = 0.581886291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4713134765625 × 2 - 1) × π
    -0.057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18024274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581886291503906 × 2 - 1) × π
    -0.163772583007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.514506743622063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18024274} λ = -0.18024274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514506743622063))-π/2
    2×atan(0.597795388295808)-π/2
    2×0.538796885483307-π/2
    1.07759377096661-1.57079632675     		φ = -0.49320256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18024274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.327148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49320256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.258425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61776 KachelY 76269 -0.18024274 -0.49320256 -10.327148 -28.258425
    Oben rechts KachelX + 1 61777 KachelY 76269 -0.18019481 -0.49320256 -10.324402 -28.258425
    Unten links KachelX 61776 KachelY + 1 76270 -0.18024274 -0.49324478 -10.327148 -28.260844
    Unten rechts KachelX + 1 61777 KachelY + 1 76270 -0.18019481 -0.49324478 -10.324402 -28.260844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49320256--0.49324478) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dl = 268.983619999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49320256--0.49324478) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dr = 268.983619999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18024274--0.18019481) × cos(-0.49320256) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.880821128770786 × 6371000     		do = 268.969327948348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18024274--0.18019481) × cos(-0.49324478) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.880801138960786 × 6371000     		du = 268.963223819386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49320256)-sin(-0.49324478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880821128770786-0.880801138960786)×R²
    abs(-0.18019481--0.18024274)×1.99898100006202e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.99898100006202e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.99898100006202e-05×40589641000000     		ar = 72347.5225558611m²