Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61775 / 77635
↖ ↑ ↗
← S 31.510654°
W 10.329895°		 ← 260.39 m → S 31.510654°
W 10.327148°		 →
↑
260.32 m
↓
↑
260.32 m
↓
S 31.512996°
W 10.329895°		 ← 260.38 m →
67 783 m²		 S 31.512996°
W 10.327148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471309661865234 y=0.592311859130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471309661865234 × 217)
    floor (0.471309661865234 × 131072)
    floor (61775.5)     		tx = 61775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592311859130859 × 217)
    floor (0.592311859130859 × 131072)
    floor (77635.5)     		ty = 77635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61775 / 77635 ti = "17/61775/77635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61775/77635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61775 ÷ 217
    61775 ÷ 131072     		x = 0.471305847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77635 ÷ 217
    77635 ÷ 131072     		y = 0.592308044433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471305847167969 × 2 - 1) × π
    -0.0573883056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18029068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592308044433594 × 2 - 1) × π
    -0.184616088867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.579988548503059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18029068} λ = -0.18029068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579988548503059))-π/2
    2×atan(0.559904778276546)-π/2
    2×0.510415829842425-π/2
    1.02083165968485-1.57079632675     		φ = -0.54996467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18029068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.329895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54996467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.510654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61775 KachelY 77635 -0.18029068 -0.54996467 -10.329895 -31.510654
    Oben rechts KachelX + 1 61776 KachelY 77635 -0.18024274 -0.54996467 -10.327148 -31.510654
    Unten links KachelX 61775 KachelY + 1 77636 -0.18029068 -0.55000553 -10.329895 -31.512996
    Unten rechts KachelX + 1 61776 KachelY + 1 77636 -0.18024274 -0.55000553 -10.327148 -31.512996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54996467--0.55000553) × R
    4.08599999999204e-05 × 6371000     		dl = 260.319059999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54996467--0.55000553) × R
    4.08599999999204e-05 × 6371000     		dr = 260.319059999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18029068--0.18024274) × cos(-0.54996467) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.852542988067236 × 6371000     		do = 260.388573012227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18029068--0.18024274) × cos(-0.55000553) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.852521631586094 × 6371000     		du = 260.38205019317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54996467)-sin(-0.55000553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852542988067236-0.852521631586094)×R²
    abs(-0.18024274--0.18029068)×2.13564811413214e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13564811413214e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13564811413214e-05×40589641000000     		ar = 67783.2595634575m²