Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61775 / 76811
↖ ↑ ↗
← S 29.561513°
W 10.329895°		 ← 265.67 m → S 29.561513°
W 10.327148°		 →
↑
265.61 m
↓
↑
265.61 m
↓
S 29.563901°
W 10.329895°		 ← 265.66 m →
70 562 m²		 S 29.563901°
W 10.327148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471309661865234 y=0.586025238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471309661865234 × 217)
    floor (0.471309661865234 × 131072)
    floor (61775.5)     		tx = 61775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586025238037109 × 217)
    floor (0.586025238037109 × 131072)
    floor (76811.5)     		ty = 76811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61775 / 76811 ti = "17/61775/76811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61775/76811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61775 ÷ 217
    61775 ÷ 131072     		x = 0.471305847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76811 ÷ 217
    76811 ÷ 131072     		y = 0.586021423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471305847167969 × 2 - 1) × π
    -0.0573883056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18029068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586021423339844 × 2 - 1) × π
    -0.172042846679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.540488543216133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18029068} λ = -0.18029068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540488543216133))-π/2
    2×atan(0.582463624200822)-π/2
    2×0.527425300647347-π/2
    1.05485060129469-1.57079632675     		φ = -0.51594573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18029068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.329895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51594573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.561513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61775 KachelY 76811 -0.18029068 -0.51594573 -10.329895 -29.561513
    Oben rechts KachelX + 1 61776 KachelY 76811 -0.18024274 -0.51594573 -10.327148 -29.561513
    Unten links KachelX 61775 KachelY + 1 76812 -0.18029068 -0.51598742 -10.329895 -29.563901
    Unten rechts KachelX + 1 61776 KachelY + 1 76812 -0.18024274 -0.51598742 -10.327148 -29.563901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51594573--0.51598742) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dl = 265.606989999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51594573--0.51598742) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dr = 265.606989999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18029068--0.18024274) × cos(-0.51594573) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869826528187569 × 6371000     		do = 265.667411043299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18029068--0.18024274) × cos(-0.51598742) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869805959349551 × 6371000     		du = 265.661128790726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51594573)-sin(-0.51598742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869826528187569-0.869805959349551)×R²
    abs(-0.18024274--0.18029068)×2.05688380182645e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05688380182645e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05688380182645e-05×40589641000000     		ar = 70562.2870934447m²