Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61775 / 76268
↖ ↑ ↗
← S 28.256006°
W 10.329895°		 ← 269.03 m → S 28.256006°
W 10.327148°		 →
↑
269.05 m
↓
↑
269.05 m
↓
S 28.258425°
W 10.329895°		 ← 269.03 m →
72 381 m²		 S 28.258425°
W 10.327148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471309661865234 y=0.581882476806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471309661865234 × 217)
    floor (0.471309661865234 × 131072)
    floor (61775.5)     		tx = 61775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581882476806641 × 217)
    floor (0.581882476806641 × 131072)
    floor (76268.5)     		ty = 76268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61775 / 76268 ti = "17/61775/76268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61775/76268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61775 ÷ 217
    61775 ÷ 131072     		x = 0.471305847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76268 ÷ 217
    76268 ÷ 131072     		y = 0.581878662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471305847167969 × 2 - 1) × π
    -0.0573883056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18029068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581878662109375 × 2 - 1) × π
    -0.16375732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.514458806722443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18029068} λ = -0.18029068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514458806722443))-π/2
    2×atan(0.597824045440192)-π/2
    2×0.538817997639941-π/2
    1.07763599527988-1.57079632675     		φ = -0.49316033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18029068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.329895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49316033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.256006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61775 KachelY 76268 -0.18029068 -0.49316033 -10.329895 -28.256006
    Oben rechts KachelX + 1 61776 KachelY 76268 -0.18024274 -0.49316033 -10.327148 -28.256006
    Unten links KachelX 61775 KachelY + 1 76269 -0.18029068 -0.49320256 -10.329895 -28.258425
    Unten rechts KachelX + 1 61776 KachelY + 1 76269 -0.18024274 -0.49320256 -10.327148 -28.258425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49316033--0.49320256) × R
    4.2230000000032e-05 × 6371000     		dl = 269.047330000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49316033--0.49320256) × R
    4.2230000000032e-05 × 6371000     		dr = 269.047330000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18029068--0.18024274) × cos(-0.49316033) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.880841121744818 × 6371000     		do = 269.031551431321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18029068--0.18024274) × cos(-0.49320256) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.880821128770786 × 6371000     		du = 269.025445062432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49316033)-sin(-0.49320256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880841121744818-0.880821128770786)×R²
    abs(-0.18024274--0.18029068)×1.99929740321014e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.99929740321014e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.99929740321014e-05×40589641000000     		ar = 72381.3991580154m²