Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61775 / 34449
↖ ↑ ↗
← N 64.603860°
W 10.329895°		 ← 130.99 m → N 64.603860°
W 10.327148°		 →
↑
130.99 m
↓
↑
130.99 m
↓
N 64.602682°
W 10.329895°		 ← 130.99 m →
17 158 m²		 N 64.602682°
W 10.327148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471309661865234 y=0.262828826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471309661865234 × 217)
    floor (0.471309661865234 × 131072)
    floor (61775.5)     		tx = 61775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262828826904297 × 217)
    floor (0.262828826904297 × 131072)
    floor (34449.5)     		ty = 34449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61775 / 34449 ti = "17/61775/34449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61775/34449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61775 ÷ 217
    61775 ÷ 131072     		x = 0.471305847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34449 ÷ 217
    34449 ÷ 131072     		y = 0.262825012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471305847167969 × 2 - 1) × π
    -0.0573883056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18029068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262825012207031 × 2 - 1) × π
    0.474349975585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.49021439848869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18029068} λ = -0.18029068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49021439848869))-π/2
    2×atan(4.43804692756373)-π/2
    2×1.34917319331129-π/2
    2.69834638662258-1.57079632675     		φ = 1.12755006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18029068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.329895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12755006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.603860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61775 KachelY 34449 -0.18029068 1.12755006 -10.329895 64.603860
    Oben rechts KachelX + 1 61776 KachelY 34449 -0.18024274 1.12755006 -10.327148 64.603860
    Unten links KachelX 61775 KachelY + 1 34450 -0.18029068 1.12752950 -10.329895 64.602682
    Unten rechts KachelX + 1 61776 KachelY + 1 34450 -0.18024274 1.12752950 -10.327148 64.602682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12755006-1.12752950) × R
    2.05599999998363e-05 × 6371000     		dl = 130.987759998957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12755006-1.12752950) × R
    2.05599999998363e-05 × 6371000     		dr = 130.987759998957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18029068--0.18024274) × cos(1.12755006) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428874280863445 × 6371000     		do = 130.989244599675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18029068--0.18024274) × cos(1.12752950) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428892853940447 × 6371000     		du = 130.994917295463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12755006)-sin(1.12752950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428874280863445-0.428892853940447)×R²
    abs(-0.18024274--0.18029068)×1.85730770020376e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85730770020376e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85730770020376e-05×40589641000000     		ar = 17158.3592613359m²