Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61775 / 13138
↖ ↑ ↗
← N 72.682495°
E159.340210°		 ← 181.83 m → N 72.682495°
E159.345703°		 →
↑
181.83 m
↓
↑
181.83 m
↓
N 72.680860°
E159.340210°		 ← 181.85 m →
33 063 m²		 N 72.680860°
E159.345703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942619323730469 y=0.200477600097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942619323730469 × 216)
    floor (0.942619323730469 × 65536)
    floor (61775.5)     		tx = 61775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200477600097656 × 216)
    floor (0.200477600097656 × 65536)
    floor (13138.5)     		ty = 13138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61775 / 13138 ti = "16/61775/13138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61775/13138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61775 ÷ 216
    61775 ÷ 65536     		x = 0.942611694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13138 ÷ 216
    13138 ÷ 65536     		y = 0.200469970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942611694335938 × 2 - 1) × π
    0.885223388671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78101129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200469970703125 × 2 - 1) × π
    0.59906005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8820026790834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78101129} λ = 2.78101129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8820026790834))-π/2
    2×atan(6.56664258022723)-π/2
    2×1.41967258635937-π/2
    2.83934517271873-1.57079632675     		φ = 1.26854885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78101129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.340210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26854885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.682495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61775 KachelY 13138 2.78101129 1.26854885 159.340210 72.682495
    Oben rechts KachelX + 1 61776 KachelY 13138 2.78110717 1.26854885 159.345703 72.682495
    Unten links KachelX 61775 KachelY + 1 13139 2.78101129 1.26852031 159.340210 72.680860
    Unten rechts KachelX + 1 61776 KachelY + 1 13139 2.78110717 1.26852031 159.345703 72.680860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26854885-1.26852031) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dl = 181.828339999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26854885-1.26852031) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dr = 181.828339999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78101129-2.78110717) × cos(1.26854885) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.297666555085997 × 6371000     		do = 181.830055720664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78101129-2.78110717) × cos(1.26852031) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.29769380124377 × 6371000     		du = 181.846699076463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26854885)-sin(1.26852031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297666555085997-0.29769380124377)×R²
    abs(2.78110717-2.78101129)×2.72461577728866e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.72461577728866e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.72461577728866e-05×40589641000000     		ar = 33063.3703131298m²