Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61774 / 76270
↖ ↑ ↗
← S 28.260844°
W 10.332642°		 ← 269.02 m → S 28.260844°
W 10.329895°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
S 28.263263°
W 10.332642°		 ← 269.01 m →
72 361 m²		 S 28.263263°
W 10.329895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471302032470703 y=0.581897735595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471302032470703 × 217)
    floor (0.471302032470703 × 131072)
    floor (61774.5)     		tx = 61774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581897735595703 × 217)
    floor (0.581897735595703 × 131072)
    floor (76270.5)     		ty = 76270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61774 / 76270 ti = "17/61774/76270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61774/76270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61774 ÷ 217
    61774 ÷ 131072     		x = 0.471298217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76270 ÷ 217
    76270 ÷ 131072     		y = 0.581893920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471298217773438 × 2 - 1) × π
    -0.057403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18033862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581893920898438 × 2 - 1) × π
    -0.163787841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.514554680521683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18033862} λ = -0.18033862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514554680521683))-π/2
    2×atan(0.597766732525126)-π/2
    2×0.538775773805822-π/2
    1.07755154761164-1.57079632675     		φ = -0.49324478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18033862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.332642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49324478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.260844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61774 KachelY 76270 -0.18033862 -0.49324478 -10.332642 -28.260844
    Oben rechts KachelX + 1 61775 KachelY 76270 -0.18029068 -0.49324478 -10.329895 -28.260844
    Unten links KachelX 61774 KachelY + 1 76271 -0.18033862 -0.49328700 -10.332642 -28.263263
    Unten rechts KachelX + 1 61775 KachelY + 1 76271 -0.18029068 -0.49328700 -10.329895 -28.263263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49324478--0.49328700) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dl = 268.983619999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49324478--0.49328700) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dr = 268.983619999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18033862--0.18029068) × cos(-0.49324478) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.880801138960786 × 6371000     		do = 269.01933965992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18033862--0.18029068) × cos(-0.49328700) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.880781147580732 × 6371000     		du = 269.013233777874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49324478)-sin(-0.49328700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880801138960786-0.880781147580732)×R²
    abs(-0.18029068--0.18033862)×1.99913800537077e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.99913800537077e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.99913800537077e-05×40589641000000     		ar = 72360.9746513069m²