Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61774 / 34450
↖ ↑ ↗
← N 64.602682°
W 10.332642°		 ← 130.99 m → N 64.602682°
W 10.329895°		 →
↑
130.99 m
↓
↑
130.99 m
↓
N 64.601504°
W 10.332642°		 ← 131 m →
17 159 m²		 N 64.601504°
W 10.329895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471302032470703 y=0.262836456298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471302032470703 × 217)
    floor (0.471302032470703 × 131072)
    floor (61774.5)     		tx = 61774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262836456298828 × 217)
    floor (0.262836456298828 × 131072)
    floor (34450.5)     		ty = 34450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61774 / 34450 ti = "17/61774/34450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61774/34450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61774 ÷ 217
    61774 ÷ 131072     		x = 0.471298217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34450 ÷ 217
    34450 ÷ 131072     		y = 0.262832641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471298217773438 × 2 - 1) × π
    -0.057403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18033862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262832641601562 × 2 - 1) × π
    0.474334716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49016646158907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18033862} λ = -0.18033862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49016646158907))-π/2
    2×atan(4.43783418645277)-π/2
    2×1.34916291363703-π/2
    2.69832582727407-1.57079632675     		φ = 1.12752950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18033862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.332642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12752950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.602682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61774 KachelY 34450 -0.18033862 1.12752950 -10.332642 64.602682
    Oben rechts KachelX + 1 61775 KachelY 34450 -0.18029068 1.12752950 -10.329895 64.602682
    Unten links KachelX 61774 KachelY + 1 34451 -0.18033862 1.12750894 -10.332642 64.601504
    Unten rechts KachelX + 1 61775 KachelY + 1 34451 -0.18029068 1.12750894 -10.329895 64.601504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12752950-1.12750894) × R
    2.05600000000583e-05 × 6371000     		dl = 130.987760000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12752950-1.12750894) × R
    2.05600000000583e-05 × 6371000     		dr = 130.987760000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18033862--0.18029068) × cos(1.12752950) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428892853940447 × 6371000     		do = 130.994917295463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18033862--0.18029068) × cos(1.12750894) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42891142683615 × 6371000     		du = 131.000589935877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12752950)-sin(1.12750894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428892853940447-0.42891142683615)×R²
    abs(-0.18029068--0.18033862)×1.85728957033948e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85728957033948e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85728957033948e-05×40589641000000     		ar = 17159.1023119623m²