Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61773 / 76821
↖ ↑ ↗
← S 29.585400°
W 10.335388°		 ← 265.55 m → S 29.585400°
W 10.332642°		 →
↑
265.61 m
↓
↑
265.61 m
↓
S 29.587789°
W 10.335388°		 ← 265.54 m →
70 531 m²		 S 29.587789°
W 10.332642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471294403076172 y=0.586101531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471294403076172 × 217)
    floor (0.471294403076172 × 131072)
    floor (61773.5)     		tx = 61773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586101531982422 × 217)
    floor (0.586101531982422 × 131072)
    floor (76821.5)     		ty = 76821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61773 / 76821 ti = "17/61773/76821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61773/76821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61773 ÷ 217
    61773 ÷ 131072     		x = 0.471290588378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76821 ÷ 217
    76821 ÷ 131072     		y = 0.586097717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471290588378906 × 2 - 1) × π
    -0.0574188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18038655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586097717285156 × 2 - 1) × π
    -0.172195434570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.540967912212334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18038655} λ = -0.18038655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540967912212334))-π/2
    2×atan(0.582184476110781)-π/2
    2×0.527216841369333-π/2
    1.05443368273867-1.57079632675     		φ = -0.51636264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18038655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.335388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51636264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.585400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61773 KachelY 76821 -0.18038655 -0.51636264 -10.335388 -29.585400
    Oben rechts KachelX + 1 61774 KachelY 76821 -0.18033862 -0.51636264 -10.332642 -29.585400
    Unten links KachelX 61773 KachelY + 1 76822 -0.18038655 -0.51640433 -10.335388 -29.587789
    Unten rechts KachelX + 1 61774 KachelY + 1 76822 -0.18033862 -0.51640433 -10.332642 -29.587789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51636264--0.51640433) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dl = 265.606989999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51636264--0.51640433) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dr = 265.606989999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18038655--0.18033862) × cos(-0.51636264) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.869620766844755 × 6371000     		do = 265.54916269388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18038655--0.18033862) × cos(-0.51640433) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.869600182890268 × 6371000     		du = 265.542877135752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51636264)-sin(-0.51640433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869620766844755-0.869600182890268)×R²
    abs(-0.18033862--0.18038655)×2.05839544871189e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.05839544871189e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.05839544871189e-05×40589641000000     		ar = 70530.8790662288m²