Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61770 / 77634
↖ ↑ ↗
← S 31.508313°
W 10.343628°		 ← 260.34 m → S 31.508313°
W 10.340882°		 →
↑
260.38 m
↓
↑
260.38 m
↓
S 31.510654°
W 10.343628°		 ← 260.33 m →
67 787 m²		 S 31.510654°
W 10.340882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471271514892578 y=0.592304229736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471271514892578 × 217)
    floor (0.471271514892578 × 131072)
    floor (61770.5)     		tx = 61770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592304229736328 × 217)
    floor (0.592304229736328 × 131072)
    floor (77634.5)     		ty = 77634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61770 / 77634 ti = "17/61770/77634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61770/77634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61770 ÷ 217
    61770 ÷ 131072     		x = 0.471267700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77634 ÷ 217
    77634 ÷ 131072     		y = 0.592300415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471267700195312 × 2 - 1) × π
    -0.057464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18053036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592300415039062 × 2 - 1) × π
    -0.184600830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.579940611603439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18053036} λ = -0.18053036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579940611603439))-π/2
    2×atan(0.559931619019024)-π/2
    2×0.510436264232262-π/2
    1.02087252846452-1.57079632675     		φ = -0.54992380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18053036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.343628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54992380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.508313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61770 KachelY 77634 -0.18053036 -0.54992380 -10.343628 -31.508313
    Oben rechts KachelX + 1 61771 KachelY 77634 -0.18048243 -0.54992380 -10.340882 -31.508313
    Unten links KachelX 61770 KachelY + 1 77635 -0.18053036 -0.54996467 -10.343628 -31.510654
    Unten rechts KachelX + 1 61771 KachelY + 1 77635 -0.18048243 -0.54996467 -10.340882 -31.510654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54992380--0.54996467) × R
    4.08700000000817e-05 × 6371000     		dl = 260.38277000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54992380--0.54996467) × R
    4.08700000000817e-05 × 6371000     		dr = 260.38277000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18053036--0.18048243) × cos(-0.54992380) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.852564348351246 × 6371000     		do = 260.340780118172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18053036--0.18048243) × cos(-0.54996467) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.852542988067236 × 6371000     		du = 260.334257498485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54992380)-sin(-0.54996467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852564348351246-0.852542988067236)×R²
    abs(-0.18048243--0.18053036)×2.1360284009897e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1360284009897e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1360284009897e-05×40589641000000     		ar = 67787.4042918901m²