Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61770 / 76828
↖ ↑ ↗
← S 29.602118°
W 10.343628°		 ← 265.51 m → S 29.602118°
W 10.340882°		 →
↑
265.54 m
↓
↑
265.54 m
↓
S 29.604506°
W 10.343628°		 ← 265.50 m →
70 502 m²		 S 29.604506°
W 10.340882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471271514892578 y=0.586154937744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471271514892578 × 217)
    floor (0.471271514892578 × 131072)
    floor (61770.5)     		tx = 61770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586154937744141 × 217)
    floor (0.586154937744141 × 131072)
    floor (76828.5)     		ty = 76828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61770 / 76828 ti = "17/61770/76828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61770/76828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61770 ÷ 217
    61770 ÷ 131072     		x = 0.471267700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76828 ÷ 217
    76828 ÷ 131072     		y = 0.586151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471267700195312 × 2 - 1) × π
    -0.057464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18053036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586151123046875 × 2 - 1) × π
    -0.17230224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.541303470509674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18053036} λ = -0.18053036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541303470509674))-π/2
    2×atan(0.581989152052376)-π/2
    2×0.527070949225264-π/2
    1.05414189845053-1.57079632675     		φ = -0.51665443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18053036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.343628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51665443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.602118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61770 KachelY 76828 -0.18053036 -0.51665443 -10.343628 -29.602118
    Oben rechts KachelX + 1 61771 KachelY 76828 -0.18048243 -0.51665443 -10.340882 -29.602118
    Unten links KachelX 61770 KachelY + 1 76829 -0.18053036 -0.51669611 -10.343628 -29.604506
    Unten rechts KachelX + 1 61771 KachelY + 1 76829 -0.18048243 -0.51669611 -10.340882 -29.604506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51665443--0.51669611) × R
    4.16800000000439e-05 × 6371000     		dl = 265.54328000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51665443--0.51669611) × R
    4.16800000000439e-05 × 6371000     		dr = 265.54328000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18053036--0.18048243) × cos(-0.51665443) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.869476667183867 × 6371000     		do = 265.505160128909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18053036--0.18048243) × cos(-0.51669611) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.869456077591786 × 6371000     		du = 265.498872849274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51665443)-sin(-0.51669611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869476667183867-0.869456077591786)×R²
    abs(-0.18048243--0.18053036)×2.05895920806221e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.05895920806221e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.05895920806221e-05×40589641000000     		ar = 70502.2763154082m²