Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61770 / 76822
↖ ↑ ↗
← S 29.587789°
W 10.343628°		 ← 265.54 m → S 29.587789°
W 10.340882°		 →
↑
265.61 m
↓
↑
265.61 m
↓
S 29.590177°
W 10.343628°		 ← 265.54 m →
70 529 m²		 S 29.590177°
W 10.340882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471271514892578 y=0.586109161376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471271514892578 × 217)
    floor (0.471271514892578 × 131072)
    floor (61770.5)     		tx = 61770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586109161376953 × 217)
    floor (0.586109161376953 × 131072)
    floor (76822.5)     		ty = 76822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61770 / 76822 ti = "17/61770/76822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61770/76822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61770 ÷ 217
    61770 ÷ 131072     		x = 0.471267700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76822 ÷ 217
    76822 ÷ 131072     		y = 0.586105346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471267700195312 × 2 - 1) × π
    -0.057464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18053036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586105346679688 × 2 - 1) × π
    -0.172210693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.541015849111954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18053036} λ = -0.18053036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541015849111954))-π/2
    2×atan(0.582156568660892)-π/2
    2×0.527195998154337-π/2
    1.05439199630867-1.57079632675     		φ = -0.51640433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18053036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.343628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51640433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.587789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61770 KachelY 76822 -0.18053036 -0.51640433 -10.343628 -29.587789
    Oben rechts KachelX + 1 61771 KachelY 76822 -0.18048243 -0.51640433 -10.340882 -29.587789
    Unten links KachelX 61770 KachelY + 1 76823 -0.18053036 -0.51644602 -10.343628 -29.590177
    Unten rechts KachelX + 1 61771 KachelY + 1 76823 -0.18048243 -0.51644602 -10.340882 -29.590177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51640433--0.51644602) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dl = 265.606989999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51640433--0.51644602) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dr = 265.606989999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18053036--0.18048243) × cos(-0.51640433) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.869600182890268 × 6371000     		do = 265.542877135752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18053036--0.18048243) × cos(-0.51644602) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.869579597424367 × 6371000     		du = 265.536591116096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51640433)-sin(-0.51644602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869600182890268-0.869579597424367)×R²
    abs(-0.18048243--0.18053036)×2.05854659010019e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.05854659010019e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.05854659010019e-05×40589641000000     		ar = 70529.2095167277m²