Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6177 / 6497
↖ ↑ ↗
← S 71.978988°
E 91.450195°		 ← 1 511.71 m → S 71.978988°
E 91.494141°		 →
↑
1 511.14 m
↓
↑
1 511.14 m
↓
S 71.992578°
E 91.450195°		 ← 1 510.61 m →
2 283 574 m²		 S 71.992578°
E 91.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75408935546875 y=0.79315185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75408935546875 × 213)
    floor (0.75408935546875 × 8192)
    floor (6177.5)     		tx = 6177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79315185546875 × 213)
    floor (0.79315185546875 × 8192)
    floor (6497.5)     		ty = 6497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6177 / 6497 ti = "13/6177/6497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6177/6497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6177 ÷ 213
    6177 ÷ 8192     		x = 0.7540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6497 ÷ 213
    6497 ÷ 8192     		y = 0.7930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7540283203125 × 2 - 1) × π
    0.508056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.59610701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7930908203125 × 2 - 1) × π
    -0.586181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.84154393580408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59610701} λ = 1.59610701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84154393580408))-π/2
    2×atan(0.158572411388612)-π/2
    2×0.157262998436639-π/2
    0.314525996873279-1.57079632675     		φ = -1.25627033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59610701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25627033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.978988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6177 KachelY 6497 1.59610701 -1.25627033 91.450195 -71.978988
    Oben rechts KachelX + 1 6178 KachelY 6497 1.59687400 -1.25627033 91.494141 -71.978988
    Unten links KachelX 6177 KachelY + 1 6498 1.59610701 -1.25650752 91.450195 -71.992578
    Unten rechts KachelX + 1 6178 KachelY + 1 6498 1.59687400 -1.25650752 91.494141 -71.992578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25627033--1.25650752) × R
    0.000237189999999998 × 6371000     		dl = 1511.13748999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25627033--1.25650752) × R
    0.000237189999999998 × 6371000     		dr = 1511.13748999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59610701-1.59687400) × cos(-1.25627033) × R
    0.000766989999999801 × 0.309365755908841 × 6371000     		do = 1511.71369040393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59610701-1.59687400) × cos(-1.25650752) × R
    0.000766989999999801 × 0.309140193008558 × 6371000     		du = 1510.61147880523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25627033)-sin(-1.25650752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309365755908841-0.309140193008558)×R²
    abs(1.59687400-1.59610701)×0.000225562900282861×R²
    0.000766989999999801×0.000225562900282861×6371000²
    0.000766989999999801×0.000225562900282861×40589641000000     		ar = 2283574.44578764m²