Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61769 / 76829
↖ ↑ ↗
← S 29.604506°
W 10.346374°		 ← 265.55 m → S 29.604506°
W 10.343628°		 →
↑
265.54 m
↓
↑
265.54 m
↓
S 29.606894°
W 10.346374°		 ← 265.55 m →
70 515 m²		 S 29.606894°
W 10.343628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471263885498047 y=0.586162567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471263885498047 × 217)
    floor (0.471263885498047 × 131072)
    floor (61769.5)     		tx = 61769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586162567138672 × 217)
    floor (0.586162567138672 × 131072)
    floor (76829.5)     		ty = 76829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61769 / 76829 ti = "17/61769/76829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61769/76829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61769 ÷ 217
    61769 ÷ 131072     		x = 0.471260070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76829 ÷ 217
    76829 ÷ 131072     		y = 0.586158752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471260070800781 × 2 - 1) × π
    -0.0574798583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18057830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586158752441406 × 2 - 1) × π
    -0.172317504882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.541351407409294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18057830} λ = -0.18057830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541351407409294))-π/2
    2×atan(0.581961253965493)-π/2
    2×0.527050109464131-π/2
    1.05410021892826-1.57079632675     		φ = -0.51669611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18057830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.346374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51669611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.604506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61769 KachelY 76829 -0.18057830 -0.51669611 -10.346374 -29.604506
    Oben rechts KachelX + 1 61770 KachelY 76829 -0.18053036 -0.51669611 -10.343628 -29.604506
    Unten links KachelX 61769 KachelY + 1 76830 -0.18057830 -0.51673779 -10.346374 -29.606894
    Unten rechts KachelX + 1 61770 KachelY + 1 76830 -0.18053036 -0.51673779 -10.343628 -29.606894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51669611--0.51673779) × R
    4.16799999999329e-05 × 6371000     		dl = 265.543279999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51669611--0.51673779) × R
    4.16799999999329e-05 × 6371000     		dr = 265.543279999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18057830--0.18053036) × cos(-0.51669611) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869456077591786 × 6371000     		do = 265.554265895948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18057830--0.18053036) × cos(-0.51673779) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869435486489267 × 6371000     		du = 265.547976843224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51669611)-sin(-0.51673779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869456077591786-0.869435486489267)×R²
    abs(-0.18053036--0.18057830)×2.0591102519063e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.0591102519063e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.0591102519063e-05×40589641000000     		ar = 70515.3157862293m²