Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61769 / 76824
↖ ↑ ↗
← S 29.592565°
W 10.346374°		 ← 265.59 m → S 29.592565°
W 10.343628°		 →
↑
265.54 m
↓
↑
265.54 m
↓
S 29.594953°
W 10.346374°		 ← 265.58 m →
70 524 m²		 S 29.594953°
W 10.343628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471263885498047 y=0.586124420166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471263885498047 × 217)
    floor (0.471263885498047 × 131072)
    floor (61769.5)     		tx = 61769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586124420166016 × 217)
    floor (0.586124420166016 × 131072)
    floor (76824.5)     		ty = 76824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61769 / 76824 ti = "17/61769/76824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61769/76824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61769 ÷ 217
    61769 ÷ 131072     		x = 0.471260070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76824 ÷ 217
    76824 ÷ 131072     		y = 0.58612060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471260070800781 × 2 - 1) × π
    -0.0574798583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18057830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58612060546875 × 2 - 1) × π
    -0.1722412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.541111722911194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18057830} λ = -0.18057830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541111722911194))-π/2
    2×atan(0.582100757774346)-π/2
    2×0.527154313204375-π/2
    1.05430862640875-1.57079632675     		φ = -0.51648770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18057830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.346374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51648770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.592565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61769 KachelY 76824 -0.18057830 -0.51648770 -10.346374 -29.592565
    Oben rechts KachelX + 1 61770 KachelY 76824 -0.18053036 -0.51648770 -10.343628 -29.592565
    Unten links KachelX 61769 KachelY + 1 76825 -0.18057830 -0.51652938 -10.346374 -29.594953
    Unten rechts KachelX + 1 61770 KachelY + 1 76825 -0.18053036 -0.51652938 -10.343628 -29.594953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51648770--0.51652938) × R
    4.16800000000439e-05 × 6371000     		dl = 265.54328000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51648770--0.51652938) × R
    4.16800000000439e-05 × 6371000     		dr = 265.54328000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18057830--0.18053036) × cos(-0.51648770) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869559015385378 × 6371000     		do = 265.58570574773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18057830--0.18053036) × cos(-0.51652938) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869538431835772 × 6371000     		du = 265.57941900186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51648770)-sin(-0.51652938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869559015385378-0.869538431835772)×R²
    abs(-0.18053036--0.18057830)×2.05835496062123e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05835496062123e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05835496062123e-05×40589641000000     		ar = 70523.664734114m²